| □ R05年08月期 A-05 Code:[HB0303] : 交流電源と抵抗とリアクタンスからなる回路網の計算 |
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容量性（コンデンサ）、誘導性（コイル）、抵抗の３つのインピーダンスが直列、並列に組み合わされた回路の合成インピーダンスの問題で、よく出題されます。インピーダンス計算の基本だからでしょう。［１］複素数計算にチャレンジしてみよう２アマまでは実数の世界で何とか解いていましたが、１アマになったら複素数（＝実数＋虚数 の形の数）計算にチャレンジしてみて下さい。というのも、こういった直列や並列の回路の合成インピーダンスを求める時、複素数でインピーダンスを計算すると、オームの法則だけで解けてしまうからです。２アマの時のようなベクトル計算や直角三角形の１辺の長さを求める公式も（全然無縁なわけではありませんが）使いません。ただ、少しだけ面倒なのは、分数で答えが出た時に分母が複素数になってしまった時、実数部と虚数部を明確に分けるため、「通分」のような「正規化」という作業が必要になることです。でも、慣れてしまえば大して難しくはありません。 この問題では回路の要素（抵抗・コンデンサ・コイル）は３つですが、上に書いたことは、要素がいくつでも使えます。２個や４個になっても、合成抵抗の計算と同じようにやって行けば良いのです。流れる電流も、遅れ位相なのか、進み位相なのか、電流の虚数部を電圧と比較すればすぐに分かります。こんな便利な複素数を使わない手はありません。 ［２］複素数を使って解いてみるでは、具体的に見て行きましょう。回路の要素が直並列、並直列に３つ繋がるパターンはFig.HB0303_aの２種類です。 | |
 Fig.HB0303_a ３つのインピーダンスの接続 |
３つとも直列、３つとも並列のパターンもありますが、これは別途問題があるので、そこで解いています。 この図で、Ｚ1〜Ｚ3はどれが抵抗・コンデンサ・コイルであるかの組合せは全く任意です。どんな組合せでも合成インピーダンスＺは各図の下にある式で表されます。合成抵抗を計算する式と全く同じです。 Ｚ1〜Ｚ3に、抵抗なら抵抗値Ｒ [Ω]を、コイルなら誘導性インピーダンスjＸLを、コンデンサなら容量性インピーダンス−jＸCを代入します。 |
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例えば、Fig.HB0301_aの左の回路で、Ｚ1＝−jＸC、Ｚ2＝jＸL、Ｚ3＝Ｒだとしましょう。この回路の左半分のインピーダンス、つまり、Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)を計算すると、 Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)＝ＸCＸL/j(ＸL−ＸC) …(1) この式で、分母にjがあるのは気持ちが悪いので、これを分子に移し（分母と分子に−jを掛ける）、 Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)＝jＸCＸL/(ＸC−ＸL) …(2) となります。Ｚ3＝Ｒなので、全体のインピーダンスＺ [Ω]は、 Ｚ＝Ｒ＋jＸCＸL/(ＸC−ＸL) …(3) あとはこれに問題の数値を代入し、複素数の計算をガチャガチャとやるだけです。複素数の計算練習はここではやりませんので、慣れていない方は、同様の問題をいろいろ解いてみて下さい。 それでは、解答に移ります。 最初に、この問題の趣旨を説明すると、50or60 [Hz]の商用電源ラインに7 [MHz]の高周波電流が混じっていて、それをインダクタで取り除き（減衰させ）たい、ということです。実はこの問題、複素数を使わなくてもデシベルとピタゴラスの定理（も必要ないかも）が分かれば解けてしまいます。 まず、Ｌがない時にAC電源両端に生じている7 [MHz]の電圧を仮に1 [V]とします。Ｌがなければ抵抗の両端に7 [MHz]の電圧はそのままの形で1 [V]かかります。 この回路に直列にＬを入れて、抵抗に掛かる7 [MHz]の電圧が26 [dB]落ちた値、すなわち、 1 [V]×10-26/20≒0.05 [V] …(A1) に抑えたい、と言っているわけです。 さてここで、∠Ｂが直角の直角三角形ＡＢＣを考え、斜辺ＡＣの長さが電源に生じている7 [MHz]の電圧1 [V]、辺ＡＢの長さがＬの両端に発生する7 [MHz]の電圧、辺ＣＢの長さが抵抗の両端に発生する7 [MHz]の電圧0.05 [V]とします（ここで、「何故、直角三角形が出てくるの？」という方は、H1212A06の解説等をご参照下さい）。 上の例で言えば、ＡＣ＝1、ＣＢ＝0.05で、ＡＢの長さを求めたいのですが、斜辺ＡＣに対してあまりにも短辺ＣＢが短いので、計算せずともＡＢの長さ≒1と分かります。 さらにここで、この回路を流れている7 [MHz]の電流はどこでも同じですから、上の三角形ＡＢＣの話でＡＢ≒ＡＣだということは、抵抗の両端の7 [MHz]電圧の約26 [dB]倍の電圧が、ほぼＬの両端電圧、ということができます。従って、 2πＬ×7 [MHz]≒100 [Ω]×1026/20＝2 [kΩ] …(A2) となります。後は、「7 [MHz]で2 [kΩ]の誘導性リアクタンスを生じるインダクタンスＬは何 [H]か」という問題になります。(A2)式をＬについて解けば、 Ｌ＝2 [kΩ]/(2π×7 [MHz])＝1/(7π) [mH] …(A3) となりますから、正解は５と分かります。 | |
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