トランス（変成器）インピーダンス整合内部抵抗負荷インピーダンス最大電力伝達変圧比（巻数比）

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A-04	次の記述は、図に示す変成器Ｔを用いた回路のインピーダンス整合について述べたものである。［　］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

(1)	Ｔの二次側に、Ｒ_L [Ω]の負荷抵抗を接続したとき、一次側の端子ａｂから負荷側を見た抵抗Ｒ_abは、Ｒ_ab＝［Ａ］[Ω]となる。
(2)	交流電源の内部抵抗をＲ_G [Ω]としたとき、Ｒ_Lに最大電力を供給するには、Ｒ_ab＝［Ｂ］[Ω]でなければならない。
(3)	(2)のとき、Ｒ_Lで消費する最大電力の値Ｐ_mは、Ｐ_m＝［Ｃ］[W]である。

	Ａ	Ｂ	Ｃ
１		2Ｒ_G
２		2Ｒ_G
３		Ｒ_G
４		Ｒ_G

Fig.H3408A04a

　今回（R04年8月期）初めての出題となります。トランスは今迄あまり出ていませんでしたが、今後もいろいろ出題される可能性があります。
　この問題は、２つの大きなテーマを含んでいます。まず一つは、電源側から（理想）トランスを通して負荷がどう見えるか、ということ。もう一つは、内部抵抗がゼロでない電圧源（＝電源）から最大電力を引き出す方法です。後者は、ずばりインピーダンス整合の問題です。トランスの問題というよりは、高周波を扱う無線屋としてはこちらの方が重要かもしれません。
　両方とも、公式を覚えていれば簡単ですが、「どうしてそうなるのか」を一度チェックしておくことをお勧めします。
　なお、この問題には、トランスの効率（損失）についての但し書きはありませんが、何も書かれていなければ、損失のない理想トランスとして扱ってよいでしょう。

［１］理想トランスは電力を100%伝達する

　トランスという部品は、電力を伝達する受動部品です。実在するトランスは鉄損（磁性体の損失）や銅損（巻線の抵抗・表皮効果等による損失）、磁束漏れによる損失がありますが、ここでは一次側に入った電力が損失なく二次側に出てくる、理想トランスを考えます。

Fig.HB0305_a
トランスの働き

　Fig.HB0305_aの左のように、一次側の巻き数がｎ₁、二次側の巻き数がｎ₂、一次側にかかる電圧と流れ込む電流がそれぞれｖ₁ [V]とｉ₁ [A]であるとします。
　二次側にはＲ_L [Ω]の負荷が繋がり、この両端の電圧がｖ₂ [V]、電流がｉ₂ [A]流れているとします。
　まず、二次側の出力電圧ｖ₂は以下のように求められます。
　

　ここで、トランスをもう少し抽象化して、Fig.HB0305_a右のように、電力を伝えるブラックボックスとして捉えてみます。かかる電圧や電流は、上で定義したのと同じです。なお、ここでは、電力は一次側から二次側に流れるものとします。電力技術の用語でいうと電力の流れを「潮流」といいます。
　トランスは無損失ですから、一次側に流れ込む電力ｐ₁ [W]と二次側から流れ出る電力ｐ₂ [W]は等しくなりますので、
　

が成立ちます。ここで、ｐ₁とｐ₂はそれぞれ、
　

となります。(2)式から、(3)式＝(4)式、さらにｖ₂に(1)式を代入すると、ｉ₂が巻数比とｉ₁で表せて、
　

と求められます。(5)式と(1)式を見比べてみます。巻数比をＮ（＝ｎ₂/ｎ₁）とすると、二次側の
　・電圧はＮ倍に
　・電流は1/Ｎ倍に
なることが分かります。つまり、一次側の電流×電圧が、その積（＝電力）を変えずに二次側に出てくる、というのが（理想）トランスの働きです。そのため、トランスは英語でtransformerと言いますが、まさに縦長の長方形を（面積を変えずに）横長に変えるような、電力のform（形）をtrans（変える）ものなのです。

［２］二次側に繋がった負荷を一次側から見るとどう見えるか

　ここからは、一次側に電源（交流電圧源）を繋いだとして、Fig.HB0305_a左の二次側の負荷Ｒ_L [Ω]が電源からいくらに見えるのか、を考えます。当然のことながら、Ｎ≠1であれば、一次側と二次側では、電圧と電流比が違いますから、電源からみた負荷はＲ_Lには見えません。では、いくらになるでしょうか、という問題です。

　まず、(1)式と(5)式をｖ₁とｉ₁について解いておくと、
　　

となります。次に、二次側の回路について着目し、Ｒ_Lには電流ｉ₂が流れていて、その両端電圧がｖ₂なので、
　

Fig.HB0305_a
トランスの向こうの負荷

となります。同様に、一次側についても、求めたいＲ_Xに電流ｉ₁が流れていて、その両端電圧がｖ₁なのだと考えれば、
　

ここで、(9)式のｖ₁とｉ₁に(6)式と(7)式をそれぞれ代入すると、
　

となりますが、この式に現れる(ｖ₂/ｉ₂)は、(8)式のＲ_Lに他ならないので、最終的には、
　

となります。つまり、一次側から見た負荷は、実際の負荷に比べ、抵抗値が巻数比の二乗分の一になるということです。
　例えば、巻数比がＮ＝2で、Ｒ_L＝100 [Ω]、一次側電源電圧の実効値ｖ₁＝100 [V]であれば、二次側はｖ₂＝200 [V]になってｉ₂＝2 [A]が流れます。つまりＲ_Lでは400 [W]を消費していますが、一次側はそれと等しい電力を供給するため、ｉ₁＝4 [A]が流れます。電源から見れば、100 [V]を出力して4 [A]流れるので、25 [Ω]、つまり負荷抵抗の1/2²が繋がっているように見える、というわけです。

［３］内部抵抗のある電源から負荷の最大電力を得るには

　ここからは、電源として内部抵抗Ｒ_S [Ω]を持つ電源から、最大電力を引き出すには、負荷抵抗Ｒ_L [Ω]をいくらにすれば良いか、を考えます。説明には微分を使いますが、試験や実験等の現場では、いちいち微分していられないので、結果を覚えておくことになるでしょう。

Fig.HB0305_c
最大電力伝達の問題

　Fig.HB0305_cのように、理想電圧源（電圧Ｖ [V]）と内部抵抗Ｒ_Sが直列になった電源を、負荷抵抗Ｒ_Lに接続します。内部抵抗Ｒ_Sは一定値だとして、負荷抵抗Ｒ_Lで消費される電力Ｐ_L [W]を最大にするには、Ｒ_Lをいくらにすればよいか、という問題です。
　単純に考えれば、Ｒ_L＝0（短絡）ですが、これでは電流は多く取り出せますが、負荷抵抗の両端は0 [V]なので、電力が発生せず、内部抵抗Ｒ_Sが発熱するばかりで、取り出せる電力はゼロです。逆に、Ｒ_Lを大きな値にし過ぎると、両端電圧は上がりますが、電流が減って電力も減ってしまいます。

　0＜Ｒ_L＜∞のどこかに最適値があるはず（アタリマエ？）ですが、ここは目分量とか勘ではなく、きちんと数学という道具を使わざるを得ません。まずはＲ_Lに発生する電力Ｐ_LをＲ_Lの関数として求め、その値が最大値となる時のＲ_Lを計算します。この回路に流れている電流をｉ [A]とすると、Ｐ_Lは、
　

と求められます。(12)式の右辺のＶ²以外の部分を取り出して、分母と分子をＲ_Lで割ってみると、
　

となります。(13)式の右辺の分母が最小になれば、Ｐ_Lは最大になることが分かります。数学が得意な方は、この分母の式を見ただけでグラフが描けると思いますが、単純に言えば、ｙ＝1/ｘ＋ｘ＋Ｃ（Ｃは定数）のような形をしています。つまり、直線的なｘに比例する成分と1/ｘに比例する成分が足し合わさったグラフですから、極小になる点が必ず１つだけあります。ということは、この分母の関数をＲ_Lで微分してゼロと置けば、その時のＲ_LがＰ_Lの値を最大（つまり(13)式の分母を最大）にするはずです。
　そこで、(13)式の分母だけ取り出してＲ_Lで微分し、それをゼロと置くと、Ｒ_L＞0ですから、
　

と求められます。微分まで動員して求めてみたものの、結果が出てみれば単純で、電源の内部抵抗と負荷抵抗が等しい時に、最大電力が伝達される、ということを意味します。
　さらに、この時、負荷抵抗で消費される電力Ｐ_Lmax [W]を求めておきましょう。(12)式のＲ_LにＲ_Sを代入すれば、
　

と求められます。

［４］何かがおかしい…いや、おかしくない？

　ここで、お気づきの方もおられると思いますが、同じ電力が、電源の内部抵抗Ｒ_Sでも消費されます。つまり、電源が出している電力の半分が、負荷ではなく内部抵抗で食われているのです。負荷には半分しか伝わっていません。しかも、負荷にかかる電圧は、電圧源が出力している電圧Ｖの半分です。
　「こんな使い方、あり得ない。うちの安定化電源は、10 [A]出力したって0.1 [V]も下がらない。Ｒ_S＝10 [mΩ]として、Ｖ＝10 [V]出たらＰ_Lmax＝2.5 [kW]になって、そんな電流は出せない」…計算は合っていますが、最大出力が10 [A]だからこうなるのであって、もっと出せれば計算通りになるでしょう。ただ、その時は内部抵抗で2.5 [kW]食うので、巨大な放熱器が必要になりますから、設計者はもっと内部抵抗を下げるように設計するでしょう。
　ここで計算しているのは、数値モデルであって、実際の実験用の直流安定化電源はこのような使い方はしません。
　では何のために、こんな計算をするのでしょうか？

［５］目的はインピーダンスマッチング

　いかにも無駄に見える、最大電力伝達の目的は高周波回路のインピーダンスマッチングです。例えば、測定器としての信号発生器（の出力インピーダンス）、ケーブル（の特性インピーダンス）、負荷が全て50 [Ω]に統一されているのは、信号源からの出力エネルギーが、最大限負荷に伝達されるようにするためです。信号発生器とケーブル、ケーブルと負荷がそれぞれミスマッチになっていると、反射が生じてエネルギーが信号発生器側に戻ってしまいますし、過渡応答波形では波形歪みも起こります。
　なお、アマチュアでは出題されないと思います（昨今の問題の高度化を考えるとそうも言い切れません）が、信号源のＲ_Sや負荷Ｒ_Lが「純抵抗（実数）」ではなく「インピーダンス（複素数）」である場合の最大電力伝達の問題にも（答えだけですが）触れておきます。
　まず、信号源インピーダンスＺ_S [Ω]を抵抗分Ｒ_Sとリアクタンス分Ｘ_S [Ω]により、
　

と表します。同様に、負荷Ｚ_L [Ω]の方も、抵抗分Ｒ_Lとリアクタンス分Ｘ_L [Ω]により、
　

と表します。この場合に最大電力伝達になるには、Ｚ_LがＺ_Sの複素共役であること、つまり、
　

が条件となります。この計算は、複素数（複素電力）計算になるため、ここでは取り上げませんが、純抵抗の場合と同様の考え方で求められます。数学に自信のある方は証明にチャレンジしてみて下さい。

それでは、解答に移ります。
　

Ａ…	問題文から、巻き数比Ｎ＝Ｎ₂/Ｎ₁ですから、(11)式のＲ_Xはになります
Ｂ…	(15)式から、最大電力伝達は、電源の内部抵抗と一次側から見た負荷が等しい時になされるのでＲ_ab＝Ｒ_Gです
Ｃ…	最大電力伝達時には(16)式より、負荷での電力が消費されます

となりますから、正解は４と分かります。