回路網合成抵抗並列抵抗直列抵抗 - １アマの無線工学 R04年08月期 A-03

□ R04年08月期 A-03 Code:[HB0104] : 抵抗からなる回路網の合成抵抗・枝の電流・未知の抵抗値等の計算

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H3408A03 Counter

無線工学 > １アマ > R04年08月期 > A-03
A-03	図に示す回路において、抵抗Ｒ₀ [Ω]に流れる電流Ｉ₀が6 [A]、抵抗Ｒ₂に流れる電流Ｉ₂が2 [A]であった。このときＲ₂の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、抵抗Ｒ₁を40 [Ω]、Ｒ₃を10 [Ω]とする。

１	10 [Ω]
２	12 [Ω]
３	16 [Ω]
４	20 [Ω]
５	24 [Ω]

問題図 H3408A03a

Fig.H3408A03a

１アマの、抵抗と電源を使った回路網の問題も、パズルのような合成抵抗やあれこれひねった問題が出るようになりました。この問題もそのうちの一つですが、さほど難しくはなく、複雑な物をシンプルにして行く方法を考えれば、解けてしまいます。［１］複雑なものは単純化して解く　この手の問題は、複数の抵抗を合成して行き、単純化して行くことが解法のキーとなります。「そう簡単に言うけど、どの抵抗とどの抵抗をどういう順番で合成すればいいのか分かりません」ということも分かります。　でも、そう思われる方は、「何かまとめてしまえる部品はないか」と、よーく回路図を見て下さい。［２］解法例　この問題では、Ｒ₁とＲ₃の抵抗値は与えられていますが、Ｒ₂は流れる電流のみが分かっていて、抵抗値が分かりません（それが問題です）。
Fig.HB0104_v 2本の抵抗を単純化	電源の電圧も、直列に入っているＲ₀（これは、電源の「内部抵抗」と思ってもよいでしょう）も分かりません。　これでは、回路の各部に流れる電流を全部求めたいと思っても、すぐには求められそうにありません。　ここで、何かシンプルにできないか、と考えます。　まず、思いつくのがFig.HB0104_vのように回路図を変形してみることです。つまり、抵抗値の分かっているＲ₁とＲ₃は並列にまとめられそうです（その値をＲ₁₃とする）。
さらに、電源から流れ出る電流をＩ₀、このＲ₁₃に流れる電流をＩ₁₃、Ｒ₂に流れる電流をＩ₂とすれば、　Ｉ₀＝Ｉ₁₃＋Ｉ₂　…(1) となるのは明らかでしょう。Ｉ₀とＩ₂は与えられていますので、Ｉ₁₃は、　Ｉ₁₃＝Ｉ₀－Ｉ₂　…(2) で求められます。また、Ｒ₁₃は、　Ｒ₁₃＝Ｒ₁Ｒ₃/(Ｒ₁＋Ｒ₃)　…(3) です。抵抗Ｒ₁₃とそこに流れる電流Ｉ₁₃が求められるので、この両端に生じる電圧、つまりＲ₂の両端に生じる電圧も分かりますから、Ｒ₂の値も求められるでしょう。［３］一応、計算　Ｒ₂の両端に生じる電圧がＲ₁₃の両端に生じる電圧と等しい、という方程式を立てれば、　Ｒ₂Ｉ₂＝Ｒ₁₃Ｉ₁₃＝[Ｒ₁Ｒ₃/(Ｒ₁＋Ｒ₃)](Ｉ₀－Ｉ₂)　…(4) となりますから、これをＲ₂について解けばＲ₂の値が求められます。　Ｒ₂＝[Ｒ₁Ｒ₃/(Ｒ₁＋Ｒ₃)](Ｉ₀－Ｉ₂)/Ｉ₂　…(5) 見ての通り、Ｒ₂を求めるのに、Ｒ₀の値は必要ないことが分かります。それでは、解答に移ります。　この問題では、Ｒ₁＝40 [Ω]，Ｒ₃＝10 [Ω]，Ｉ₀＝6 [A]，Ｉ₂＝2 [A]ですが、正直に(5)式に代入するよりは、下記のような順で考えた方が計算は早いです。　まず、(2)式と(3)式より、Ｉ₁₃とＲ₁₃を順に求めると、　Ｉ₁₃＝6-2＝4 [A] 　Ｒ₁₃＝(40×10)/(40＋10)＝8 [Ω] となります。(4)式からＲ₂の両端に発生する電圧は、　Ｉ₂Ｒ₂＝Ｉ₁₃Ｒ₁₃ 　2×Ｒ₂＝4×8＝32 [V] 　　∴　Ｒ₂＝32/2＝16 [Ω] 従って、正解は３と分かります。