| □ R04年04月期 A-03 Code:[HB0104] : 抵抗からなる回路網の合成抵抗・枝の電流・未知の抵抗値等の計算 |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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近年、パズルのような抵抗回路の合成が出題されようになりました。以前に出題されたことがない回路なので、面食らった方も多いと思います。あまり複雑なものは計算時間が掛かりすぎるので、出題されないでしょう。今後も、この問題のように、回路の対称性等に着目して解くものが出題されると思います。［１］どういう対称性に着目するかまず、困るのは、この回路はよく見る平面の回路図と違って「立体」です。立体のままで解ける空間認識能力をお持ちの方は、この解説は必要ないと思いますが、このままではどうしても難しい。 | |
 Fig.HB0104_t 各ノードに名称を付ける |
ましてや、立体回路図のままで、対称性を見つけろと言われても、対象の軸が見つけられない。そこで、まず、各ノードに、Fig.HB0104_tのように名称を付けます。 特にこの名称の付け方にコツがあるわけでも何でもありません。考える際に分かりやすければ、ＡＢＣ…だろうがイロハ…だろうが何でも構いません。 ついでに、後で対称性の考え方で役立つように、端子ａ（＝ノードＡ）、端子ｂ（＝ノードＧ）に繋がっている抵抗とそうでない抵抗について、色分けしておきました。 |
［２］平面回路図に直して考える抵抗を、上で述べたように色分けしたのには理由があります。Fig.HB0104_uのように、ノードＡとノードＧに繋がっている抵抗は3本、Ｂ〜Ｆまではそれぞれ2本です。ここで、図のように端子ａから電流Ｉが流れ込み、ａｂ間に電圧Ｖが発生しているとします。 | |
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ちょっと複雑ではありますが、Ａ点で分かれた3つの電流経路（「枝」と言います）は（ここに使われている抵抗が全て同じ値で）ｂに至る経路が全て同じなので、ＡＢ間、ＡＤ間、ＡＥ間は3つとも電流値が同じはずです。つまり、ノードＡに流れ込んでくる電流がＢ,Ｄ,Ｅに3等分され、それぞれの枝にはＩ/3が流れるはずです。 さらに、ノードＢ,Ｄ,Ｅから先はやはり同じ経路が2本ですから、ＢＣ間、ＢＦ間、ＤＣ間、ＤＨ間、ＥＦ間は全てＩ/3の1/2、つまりＩ/6が流れるはずです。 |
 Fig.HB0104_u 各経路の電流を求める |
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ここで、全ての抵抗の値がＲで、ＡＢ間、ＢＣ間、ＣＧ間にそれぞれ発生する電圧ＩＲ/3、ＩＲ/6、ＩＲ/3の和がＶに等しいことから、 ＩＲ/3＋ＩＲ/6＋ＩＲ/3＝Ｖ …(1) ∴ Ｖ＝5ＩＲ/6 …(2) ここで、端子ａｂ間の合成抵抗をＲabとすると、端子ａｂ間に電圧Ｖが掛かり、電流Ｉが流れているのでＲab＝Ｖ/Ｉです。従って、(2)式の両辺をＩで割って、 Ｒab＝Ｖ/Ｉ＝5Ｒ/6 …(3) と求められます。従って、正解は３と分かります。 もう一つの考え方は、対称性による電位差に着目する方法です。Fig.HB0104_uを見ると、Ｇ点を基準に、Ｂ、Ｄ、Ｅは全て同電位、Ｃ、Ｆ、Ｈも同電位であることが分かります。ならば、ＢＤＥを繋いで一つのノードに、また、ＣＦＨも繋いで一つのノードにしてしまうことができます。こうしてしまえば、この回路全体が、 Ａ−ＢＤＥ間 … Ｒ/3 ＢＤＥ−ＣＦＨ間 … Ｒ/6 ＣＦＨ−Ｇ間 … Ｒ/3 で、これらがすべて直列になったもの、と見ることができます。こうなれば、暗算で、5Ｒ/6であると求められます。 立体なので、従来の他の問題のように、平面図にすればすぐに対称性が分かる、というわけではありませんが、全ての電流経路が同じ、ということが分かれば、電流を仮定して解くことができます。 | |
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