| □ R02年09月期 A-01 Code:[HA0207] : 2つの点電荷を含む平面上の任意の点の電界の強わを求める計算 |
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この問題が出題された2020年（令和02年）09月期は、新問の嵐でした。今迄、２つの電荷の問題と言えば、それら２つを結ぶ直線上で、電界が零（平衡）になる位置等、一次元で考えればよい問題でした。ところが、この問題は、二次元に拡張されています。より難しくなったと言えますが、電磁界をベクトルで捉える基本問題ですので、理解して臨みましょう。［１］電界と力の関係詳しくは、電気物理の教科書に譲りますが、そもそも電界や磁界、というのは「力」を仲立ちにした定義です。具体的に言うと、ある場所での電界の強さや方向は、その点に単位電荷（1 [C]）を置いた時に、どの方向にどれだけの大きさの力を受けるか、で定義することになっています。真空中で、原点Ｏに置かれた点電荷Ｑ [C]が作る電界の大きさＥ [V/m]を考えます。原点から離れた場所Ｐで、原点の点電荷が生み出す電界の強さをＥ [V/m]とすると、Ｅは、  で表されます。ここで、ε0 [F/m]は真空の誘電率、ｄ [m]は原点までの距離です。Ｅの向きは、Ｑ＞0なら原点から遠ざかる向き、Ｑ＜0なら原点に近付く向きになります。ε0は定数ですから、電界はＱ（電荷量）と原点までの距離のみで決まると言えます。但し、方向には注意しなければなりません。 ［２］電荷が複数あったらどうするか上記は、原点に点電荷が一つだけの場合でした。電荷が複数の場合は、どう考えればよいでしょうか？ | |
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答えは簡単で、空間に（電界の元となる）電荷が複数あるなら、それらの影響を「全部足せばよい」のです。但し、単に「足す」といっても、電界はベクトルなので、「足す」のはベクトル量となります。 Fig.HA0207_aで具体的に見てみましょう。点Ａにある点電荷ＱA [C]（ＱA＞0）と点Ｂにある点電荷ＱB [C]（ＱB＜0）が点Ｐに作る電界ＥP [V/m]を求めます。 ＡＰ間の距離をｄA [m]、ＢＰ間の距離をｄB [m]とすると、ＱAとＱBが点Ｐに作る電界の強さＥA、ＥBは(1)を使えば、次式で求められます。 |
 Fig.HA0207_a ２つの電荷が作る任意の点の電界 |
  但し、上で述べたように、電界は全てベクトル量ですから、ＥA、ＥBを単純に（算術的に）足すのではなく、ベクトル量として加算する必要があります。実際には、Fig.HA0207_aのように、ＡＰを結ぶ向きとＢＰ間を結ぶ向きのベクトルの加算となりますが、それぞれの電荷の符号や大きさ、位置関係によって、答えとなるベクトルＥPは変わってきます。 電荷が３つ以上の場合も、考え方は同じです。 それでは、解答に移ります。 図を見て分かりますが、⊿ｄａｂにおいてｄａ＝ｄｂで、∠ａｄｂ＝90°の直角二等辺三角形です。点ｃはａｂの中点、∠ａｃｄ＝∠ｂｃｄ＝90°です。 そこで、⊿ｄｃａについて、ピタゴラスの定理から、ｄA＝ｄａ＝1 [m]、ｄB＝ｄｂ＝1 [m]と求められます。 (2)式と(3)式にＱA＝1×10-9 [C]、ＱB＝-1×10-9 [C]、ｄA＝ｄB＝1 [m]、1/(4πε0)＝9×109を代入して電界の強さＥA、ＥBを求めれば、 ＥA＝9 [V/m]， ＥB＝-9 [V/m] となります。ＥBの符号がマイナスなのは、電界がｄからｂに向いているからです。 文章の説明で分かりづらく、申し訳ありませんが、電界ベクトルＥAは線分ａｂに対して+45°、電界ベクトルＥBは線分ａｂに対して-45°をなす、それぞれ長さが9 [V/m]のベクトル、ということになりますから、両者の合成ベクトルは線分ａｂの向きで、 ＥAcos45°＋ＥBcos45°＝9√(2/2)＋9√(2/2)＝9√2 [V/m] となりますから、３が正解と分かります。 | |
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