| □ R01年08月期 A-03 Code:[HB0104] : 抵抗からなる回路網の合成抵抗・枝の電流・未知の抵抗値等の計算 |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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この問題は、現時点（2019年8月）で過去に出題の例がありません。「アッテネータ」と聞いて、面食らった方も多かったのではないかと思います。新たな分類にしようかとも思いましたが、あることを知っていれば、単なる合成抵抗の問題に帰することができるので、合成抵抗の分類としました。［１］（π型）電力比を電圧比で表すアッテネータ（減衰器）は、通常は高周波用の部品で、インピーダンス整合が取れるように、入出力の「インピーダンス」が同じです。高周波に詳しい方なら、「アッテネータなんだから当たり前じゃないか」と思われるかもしれません。私は見たことがありませんが、入力が50 [Ω]、出力が75 [Ω]（又はその逆）などというアッテネータも、原理的には作れないことはありません。なお、アッテネータの回路構成には、π型とＴ型がありますが、π型を例に説明してから、Ｔ型を説明します。 | |
 Fig.HB0104_n 「見込む」の考え方 |
もう一つ、高周波的な見方は、「ある回路を見込む」という考え方です。アッテネータの入力側（回路図を見て明らかなように、このアッテネータは入出力対称なので、方向性はないが、仮にどちらかを「入力側」とする）から出力方向、或いは、出力側から入力方向に特性値を求めたりすることを、「入力（出力）から出力（入力）を見込む」という言い方をします。 Fig.HB0104_nの上の図のように、出力に負荷が繋がった状態で、ab端から電源を切り離し、出力側のインピーダンス（今回は合成抵抗）を測ったり、同図下のように、入力に電源が繋がった状態で出力を切り離し、xy端から入力側のインピーダンスを測ることを考えます。 |
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この時、出力側から入力側のインピーダンスを求める時には、電圧源は交流的には短絡なので、ショートとして考える所がミソです。こうして見れば、入出力共にインピーダンスは同じＲLです。このような場合は、デシベルで表した入出力の電力比と電圧比は同じになります。このことを、簡単に証明します。 まず、入力の端子間に生じている電圧をＶ1、出力の端子間に生じている電圧をＶ2とすると、入力電力Ｐ1と出力に出てくる電力Ｐ2はそれぞれ、次式で表されます。 Ｐ1＝Ｖ12/ＲL …(1) Ｐ2＝Ｖ22/ＲL …(2) 電力比を求めるには、(1)式/(2)式から、 Ｐ1/Ｐ2＝(Ｖ1/Ｖ2)2 …(3) となります。この両辺の常用対数（の10倍）を取れば、減衰量Ｌ [dB]は、 Ｌ＝10log10(Ｐ1/Ｐ2)＝10log10[(Ｖ1/Ｖ2)2]＝20log10(Ｖ1/Ｖ2) …(4) となって、電力比で表したデシベル値は、電圧比で表したデシベル値に等しいということが分かります。但し、これができるのは、比較する両側のインピーダンスが等しいことが条件です。（実は、電力比のデシベルのlogの前の係数10、電圧比や電流比のデシベルのlogの前の係数20は、この理由により決まっている。） ［２］（π型）合成抵抗の分割比の計算上記のことが知識としてあれば、問題が求めろと言っているＬが、π型のアッテネータではFig.HB0104_oのように、電源を繋いだ時にab端に生じる電圧Ｖ1とxy端に生じる電圧Ｖ2の比であることが分かります。 | |
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さらに、この図から、Ｖ2を求めるのにＲBは必要ありませんから、ＲA, ＲC, ＲLの３本の合成抵抗（並列になったＲCとＲLにＲAが直列になっている）の電圧分割比を求めれば良い（同図右）ことが分かります。 電力（の対数比）で表された減衰量が、抵抗３本の合成抵抗とその電圧（抵抗）分割比（の対数）で求められる、という単純な方法で求められるのは、（繰返しますが）整合が取れていて、しかも入出力側共に同一インピーダンスであることが必要です。このことは、くれぐれも忘れないようにして下さい。 |
 Fig.HB0104_o 合成抵抗の電圧分割比による解法 |
さて、あとは計算あるのみで、電圧（＝抵抗）分割比を求める(5)式から、(6)式が導けます。  ［３］（Ｔ型）ストレートに電力比の計算上のπ型では、簡単に電圧比から計算できましたが、Ｔ型では素直に電力比を計算しても比較的簡単に求められそうです。このあたりは、どちらをどの方法で求めた方がいいかを丸暗記するより、合成抵抗の計算や枝に流れる電流の計算を数多くやって、「見通しのいい」求め方ができるようになることです。さて、π型でもＴ型でも、ポート（ポートとは、高周波の用語で電磁エネルギーの出入り口のことです）を「見込む」という考え方は同じです（Fig.HB0104_p）。 | |
 Fig.HB0104_p Ｔ型でも「見込む」の考え方は同じ |
 Fig.HB0104_q 枝を流れる電流の比率 |
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さて、Fig.HB0104_qのようにＲCの枝に流れる電流をＩ1、ＲB＋ＲLの枝に流れる電流をＩ2とします。この時、ａｂ間から負荷側を見込んだインピーダンス（純抵抗）はＲLで、流れている電流はＩ1とＩ2の合計ですから、入力電力Ｐ1は、 Ｐ1＝(Ｉ1＋Ｉ2)2ＲL …(7) と表せます。一方、出力電力Ｐ2は、電流Ｉ2が流れているＲLの電力を求めればよいだけなので、 Ｐ2＝Ｉ22ＲL …(8) と表せます。求めるアッテネータの減衰量Ｌ [dB]は、  で求められます。さらに、このカッコの中のＩ1/Ｉ2は、Fig.HB0104_qの右側の回路で、ＲCの両端の電圧と（ＲB＋ＲL）の両端の電圧が等しいことから、  と求められますから、これを(9)式に代入して  と求められます。 一般に、アッテネータを設計する時は、欲しい減衰量があって、抵抗値をどう組み合わせようか、という話になりますので、この式のように減衰量を求める式よりは、抵抗値を求める式の方が一般的です。 それでは、解答に移ります。 問題から、(6)式にＲA＝(3/4)ＲL、ＲC＝3ＲLを代入すると、Ｌ＝20log102≒6 [dB]と求められます。従って、正解は１と分かります。 この問題は、単純な合成抵抗の問題でありながら、「電力のデシベル値」＝「入出力電圧のデシベル値」がある条件（整合終端、同一インピーダンス）でのみ成立することを知識として要求する、いわば「知っていればすぐ解ける問題」です。今迄１アマには出てこなかった知識ではありますが、高周波の世界では基本なので、頭に入れておきましょう。 | |
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