コンデンサエネルギー蓄えられた電荷両極の電圧電荷量 - １アマの無線工学 R01年08月期 A-01

□ R01年08月期 A-01 Code:[HA0309] : コンデンサに蓄えられるエネルギーの公式と計算

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無線工学 > １アマ > R01年08月期 > A-01
A-01	図に示す回路において、二つの静電容量Ｃ₁及びＣ₂に蓄えられる静電エネルギーの総和が32 [μJ]であるときの、Ｃ₁の両端の電圧Ｖ₁の値として、最も近いものを下の番号から選べ。

１	0.8 [V]
２	1.6 [V]
３	2.4 [V]
４	3.2 [V]
５	4.0 [V]

問題図 H3108A01a

Fig.H3108A01a

記憶にある限り、（2019年8月時点で）初めて見る問題です。エネルギーの公式、コンデンサの電圧分割などの考え方を使えば比較的簡単に解けますが、複合問題と言えるでしょう。応用力が問われる問題です。［１］コンデンサに蓄えられるエネルギー　容量Ｃ [F]のコンデンサに電圧Ｖ [V]で充電した時、蓄えられているエネルギーＷ [J]は、次の公式で表されます。　Ｗ＝(1/2)ＣＶ²　…(1) 「これはもう公式なんで、覚えて下さい」と書いてしまっては、あまり面白くありません。私などは、「頭に付いてる1/2は何なんだ？」と気になって覚えられません。記憶だけに頼ると、他の公式とまぜこぜになって、すぐこの1/2を忘れてしまいます。　また、このページは、１アマの問題を題材にして無線技術の基礎の勉強をするのが（一応の）目的なので、丸暗記するのではなく、少しでも本質に迫ってみようと思います。［２］コンデンサに充電する、という物理的意味　コンデンサにエネルギーが溜まる、というのはどういうことか、を考えてみます。平行平板コンデンサを考えて、両極板に電荷が蓄積（つまり充電）しないと、エネルギーが蓄えられないのは当然ですが、ここではエネルギー（＝物理用語で「仕事」と等しい）を明確にするため、次のように考えます。　コンデンサの静電容量はＣ [F]、両極の電位をＶ [V]、極板間隔をｄ [m]、極板間の一様な電界をＥ [V/m]（＝Ｖ/ｄ）として、コンデンサの両極は何にも接続されていないコンデンサは最初は充電されていない電位の基準の電極（仮に負極）から微小な正電荷Δｑを取出す Δｑを他方の電極（仮に正極）に向けて運ぶ Δｑは電界Ｅにより進行方向と逆向きの一定な力Ｆを受けるＦの力を受けて距離ｄだけ運ぶ。これには仕事量ΔＷが必要正極の電位は運ぶ前よりΔＶ、電界の強さΔＥ上昇するこの動作を極板間電圧がＶになるまで繰返す　というように考えてみることにします。実際には両端が浮いたコンデンサの電極の間で、一方から電荷を取出したりすることはできないので、頭の中での実験、すなわち「思考実験」ということになります。
Fig.HA0309_a 微小電荷を運ぶ	Fig.HA0309_aにこの動作の様子を示します。この図の左が電荷Δｑを動かす前、右が動かした後です。　このようにして（目に見えない「小人」にお願いして）、少しづつ電荷Δｑを何度も運び、最終的に両電極に±Ｑ [C]の電荷が溜まって正極の電圧がＶ [V]になった状態と、普通に電源から充電してこの状態になったのと、物理的には全く違いはありません。つまり、どのような方法を用いても、コンデンサに溜まっているエネルギーはこの状態では同じです。
Δｑを１回運んだ後は、正極の電位がΔＶ（＝Δｑ/Ｃ）だけ上昇しているので、次にΔｑを運ぶ時は、電界がΔＥ（＝ΔＶ/ｄ）だけ強くなっていて、電荷を運ぶのに要する仕事はΔＷだけ増加します。運べば運ぶほど、電界が強くなるので、一度に要する仕事量（コンデンサのエネルギーの増分）は大きくなります。　そして、正電極の電圧がＶ [V]になるまでに「小人」さんがしたトータルの仕事Ｗが、コンデンサに蓄えられているエネルギーに等しい、というわけです。ではそのＷは、どのようにして求めればよいのでしょうか？［３］電荷を運ぶための仕事量の総和を求める　Fig.HA0309_bにその計算方法を示します。横軸に蓄積されている電荷量Ｑ [C]を取り、縦軸にはその時のコンデンサの極板間電圧ｖ [V]を取ります。蓄積電荷量が多くなるほど、一回のΔｑの運搬に要する仕事ΔＷ＝「短冊の面積」が大きくなって行くのが分かります。
一回に運ぶ電荷量がΔｑなので、要する仕事量（＝コンデンサに蓄えられるエネルギーの増加分）ΔＷは、　ΔＷ＝Δｑｖ＝ＣｖΔｖ　…(2) と書けます（Ｑ＝ＣＶなので、Δｑ＝ＣΔｖだから）。この作業が終わる（ｖがＶ [V]になる）までに要した仕事の総量Ｗ [J]を求めるには、(2)式の両辺を積分すればよく、　Ｗ＝Ｃ∫ｖdｖ＝(1/2)ＣＶ²　…(1) となります。なお、ｖの積分範囲は０～Ｖです。さらに、この式にＱ＝ＣＶを代入して書き換えれば、　Ｗ＝(1/2)ＱＶ　…(4)	Fig.HA0309_b 蓄積エネルギーの計算
となります。Fig.HA0309_bをみれば、水色の部分の面積を求めていることになりますが、「この面積を求めるのに積分まで持ち出すとは、なんと面倒なことを…」と思われるかもしれません。右下の水色の三角形を見れば、　Ｗが、底辺の長さがＱで、高さがＶの直角三角形の面積であることがすぐに分かります。なので、Ｗ＝(1/2)ＱＶと求めるだけで、積分など何も使わずに済むからです。　ともあれ、この結果から分かることは、蓄えられるエネルギーは・容量が同じなら電圧の２乗に比例（(1)式）・蓄えられている電荷量と極板間電圧の積に比例（(4)式）することが分かります（上の２つは、同じ現象を違った見方で見たものに過ぎません）。［４］エネルギーが蓄積されている場所　ちょっと横道にそれますが、このＷなるエネルギーが蓄えられている場所はどこでしょうか？　電極？それとも誘電体？　「真空コンデンサ」なんていうものもありますから、真空にエネルギーが蓄えられるなんて考えにくいですが、電磁気学は明快に「極板に挟まれた空間である」と答えています。この辺は、分かりやすく書かれた本がほとんどなくて残念なのですが、電荷が全くなければ「電場（電界の及ぶ空間）」がなかったにもかかわらず、極板に電荷が溜まると、挟まれた空間に、電場という「それがない場所よりもエネルギーの高い状態を持った空間」が出現し、ここにエネルギーが蓄えられる、という解釈になっています。　ならば、電荷の溜まったコンデンサから、誘電体のみを切り出してくれば、エネルギーが保存できるのでは？と考えますが、そんなことはできません。なぜなら、その電場を作り出しているのは極板に蓄えられた電荷であり、誘電体がそこ（極板間）から遠ざかってしまえば、もはや電場は誘電体のある場所には存在しないからです。それでは解答に移ります。　まず、この問題について「見通し」を立てましょう。　与えられているのは、両コンデンサのエネルギーの和と各々の静電容量だけで、電圧は一切与えられていません。ですが、求めよ、と言われているのはＶ₁です。どう考えたらよいでしょうか？　Ｃ₁とＣ₂の容量は与えられていますから、これらを一つのコンデンサと見た時の合成容量Ｃが求まります。これに、電圧Ｖがかかって、Ｗのエネルギーが蓄えられているのですから、Ｖが求められます。　一方、コンデンサの電圧分割は、容量分割の逆比なので、ＶからＶ₁が求められるはずです。　まず、合成容量Ｃは直列コンデンサの合成容量の求め方から、　Ｃ＝Ｃ₁Ｃ₂/(Ｃ₁＋Ｃ₂)　…(a) となります。一方、Ｗは、　Ｗ＝(1/2)ＣＶ²　…(b) なので、(b)式をＶについて解いて、(b)式を代入すれば、　Ｖ＝√(2Ｗ/Ｃ)＝√[2Ｗ(Ｃ₁＋Ｃ₂)/Ｃ₁Ｃ₂]　…(c) 　ここで、Ｖ₁をＶとＣ₁,Ｃ₂で表し、Ｖに(c)式を代入すれば、　Ｖ₁＝ＶＣ₂/(Ｃ₁＋Ｃ₂) 　　＝√{2ＷＣ₂/[Ｃ₁(Ｃ₁＋Ｃ₂)]}　…(d) となります。ここで、Ｗ＝32 [μJ]、Ｃ₁＝5 [μF]、Ｃ₂＝20 [μF]を代入すれば、Ｖ₁＝3.2 [V]と求められますから、正解は４と分かります。　蛇足ですが、この時、Ｃ₂の両端の電圧は0.8 [V]、Ｖ＝4.0 [V]です。