周波数変調(FM変調) 最高周波数最大周波数偏移占有周波数帯幅変調指数カーソンの式ベッセル関数電力変動

無線工学 > １アマ > H30年04月期 > A-12
A-12	次の記述は、周波数変調(F3E)波について述べたものである。［　］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

(1)	占有周波数帯幅Ｂ [kHz]は、最大周波数偏移をｆ_d [kHz]、信号波の最高周波数をｆ_s [kHz]とすれば、［Ａ］で表される。ただし、1＜変調指数＜10とする。
(2)	変調指数ｍ_fは、［Ｂ］で表される。
(3)	全電力は、変調（入力）信号の振幅の大きさによって変化［Ｃ］。

	Ａ	Ｂ	Ｃ
１	Ｂ≒2(ｆ_d＋ｆ_s)	ｍ_f＝ｆ_dｆ_s	しない
２	Ｂ≒2(ｆ_d＋ｆ_s)	ｍ_f＝ｆ_d/ｆ_s	しない
３	Ｂ≒2(ｆ_d＋ｆ_s)	ｍ_f＝ｆ_dｆ_s	する
４	Ｂ≒(ｆ_d＋ｆ_s)/2	ｍ_f＝ｆ_d/ｆ_s	する
５	Ｂ≒(ｆ_d＋ｆ_s)/2	ｍ_f＝ｆ_dｆ_s	する

　FM変調の問題は、AM変調に次いでよく出題されます。１アマレベルでは、その性質と最大周波数偏移や、変調指数の公式をマスターしておく必要があります。

［１］FM変調の帯域幅

　まず、この問題を解くのに、覚えていなければならないのがFM変調の占有周波数帯幅の計算式です。最大周波数偏移をΔｆ_m、信号波の最大周波数をｆ_sとすると、占有周波数帯幅Ｗは

　Ｗ＝2(Δｆ_m＋ｆ_s)　…(1)

となります。
　難しいことを言うと、この式は近似式です。FM変調の側波帯はAM変調のように有限範囲には収まらず、原理上無限に広がるので、変調波のエネルギーがこの帯域の中にほぼ全部（法の定義では99 [%]以上）収まっている、という範囲です。係数２は、搬送波周波数を中心に、片側にＢ＝Δｆ_m＋ｆ_sの幅で両側に広がっている、という意味です。つまり、変調すると、搬送波の上側か下側どちらかに偏ってエネルギーが分布するのではなく、AM変調のように、幅Ｂで搬送波の上下両側に均等に分布する、ということなのです。
　なお、FM変調は、原理的に変調度がいくらであっても（つまり、信号波の周波数成分や振幅に依らず）、変調波の電力は一定です。実際にはわずかに変動する送信機もあるかも知れませんが、「原理的には」一定です。

［２］変調指数について

　FMは、振幅に応じて周波数が変化しますから、どの程度の振幅で、どれだけの周波数偏移にするのかを、変調器の設計時に決めておかなくてはなりません。また、受信側でもどれだけの周波数偏移でどれだけの振幅を得るのかを送信側と合わせておかないと、音が大き過ぎたり小さ過ぎたりします。
　最大振幅で、どれだけの周波数偏移を得るのか、を最大周波数偏移Ｆ_mといいます。変調指数ｍ_FMというのは、最大周波数偏移を変調信号周波数ｆ_sで割ったもの、すなわち、

　ｍ_FM＝Ｆ_m/ｆ_s　…(2)

と定義されます。
　変調指数は、変調器・復調器の設計の際に重要なパラメータとなります。占有周波数帯幅、得たい音質などの要求事項から決められる設計事項となります。

［３］FM変調の帯域幅（余分な知識）

　ここからは、１アマの試験には余分かも知れない知識です。
　まず、(1)式を「カーソンの式」と呼びます。
　FM変調波のスペクトルを定量的に表現するのはなかなか難しく（以下、その言い訳ですが）、搬送波角周波数をω_C [rad/s]、信号波の角周波数をω_S [rad/s]、変調指数をｍとすると、振幅がＡでFM変調された変調波Ｓは、

　Ｓ(ｔ)＝Ａcos(ω_Cｔ＋ｍsinω_sｔ)　…(3)

と表されます。三角関数の角度部分にさらに時間変化する三角関数が入っており、これを周波数軸上に表現するには、ベッセル関数、という特殊関数にお出ましいただかなければなりません。
　FM変調の帯域幅を（実測ではなく机上で）求めるのに、いちいち特殊関数の数表を引っ張り出して周波数成分について積分をして電力を求め…という計算が面倒なので、カーソンの式が使われるわけです。（普通は手計算なんてせずに、PCで簡単に積分してしまうでしょうが…）
　但し、カーソンの式が使えるのは、変調指数ｍが1程度までと言われていて、それ以上になると、スペクトルが広範囲に散るため、きちんと積分しなければなりません。

それでは、解答に移ります。
　Ａ…最大周波数偏移の式は、(1)式のようにＢ≒2(ｆ_d＋ｆ_s)です
　Ｂ…変調指数の式は最大周波数偏移を最高変調信号周波数で割ったものなので、ｍ_f＝ｆ_d/ｆ_sです
　Ｃ…FM変調波は、全電力は変調信号の振幅によって変化しない性質を持ちます
となりますから、正解は２と分かります。