| □ H29年08月期 A-05 Code:[HB0405] : 共振回路の周波数特性とＱの計算、その意味 |
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この問題が出題された平成29年は、出題傾向が大きく変わった年です。この問題についても、前年末のＱと周波数帯域の定量的な問題に続き、Ｑの様々な表式について出題されたものです。共振現象の定性的な説明はH2012A03の解説等を参考にして下さい。ここでは、主に数値的な取り扱いをしますので、数式が続きます。複素数はありますが、微分も積分はありませんし、途中を省略せず、物理的な意味も含めて説明しますので、諦めずに追ってみて下さい。［１］直列共振回路の復習まずは、最初に簡単に直列共振回路の復習をします。 | |
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Fig.HB0405_aに、RLC直列回路と交流電源、それに、この回路のインピーダンス（ベクトル表示）を示します。この例では、コイルのリアクタンスＸLがコンデンサのリアクタンスＸCより大きい状態を示しています。 この回路の、全体のインピーダンス（複素数）は、  で表されます。(1)式の中で、jＸがコイルやコンデンサのリアクタンス分の合計を示しますので、Ｘの値は、 |
 Fig.HB0405_a RLC直列回路のインピーダンス |
 となります。直列回路なので、Ｌ、Ｃ各々の要素のリアクタンスを「足した」ハズなのに、虚数の計算のマジックで引き算になっています。ωＬもωＣも0より大きな実数ですから、これらを単純に足しただけなら、どう転んでもゼロにはなり得ませんが、引き算なのでＸがゼロになり得る、というのが、共振回路のミソです。 さて、この回路全体のインピーダンスＺ（複素数）の大きさ|Ｚ|は、Fig.HB0405_aの右下の直角三角形の斜辺の長さですから、  と求められます。LCRの直列回路は、共振状態で、この|Ｚ|が最小になる（電流は最大になる）ので、|Ｚ|を最小にする条件を求めてみましょう。その条件とは、(3)式のルートの中のカッコの中身（ωＬ−1/(ωＣ)）が、ゼロになる状態です。すなわち、  となって、おなじみの共振周波数を求める公式が導出できました。 次に、この時に回路に流れる電流Ｉ0の大きさを求めておくと、  となります。共振していない時は、Ｘ≠0ですから、(1)式のjＸも≠0となり、Ｚが複素数になるので、電流も複素数となりますが、共振時の電流は実数です。つまり、電源電圧Ｅの位相と流れる電流Ｉの位相の位相にズレがない状態です。 さらにインピーダンで説明すると、Fig.HB0405_aのベクトル図で、共振時はＸLとＸCの大きさが同じで向きが逆、つまりＺベクトルには上下の成分がなく、「床に寝て」しまい、Ｒと同じ大きさになっている、という状態です。 ［２］Ｑの意味するものは何か共振のＱというのは、様々な所で出会います。１アマの問題でも、受信機の選択度と絡めて出題されたり、GHzオーダーの回路設計ではなくてはならない、実用面で非常に重要なパラメータです。そんなＱの定義式としては、ω0を共振周波数として、  という形のものを記憶されている方も多いのではないでしょうか。一方、受信機の選択度や、送信機のスプリアスの抑制などで、「Ｑを大きくすると良い」という記述を目にします。Ｑが大きいほど、共振周波数から少しでもずれると、次段にエネルギーが転送されなくなる（鋭いカットオフ特性を持つフィルタとして機能する）という意味です。 また、Ｑが大きいほど、回路の損失が少ない、とも言えます。(6)式の定義では、Ｒが分母に来ていて、コイルのリアクタンス（ω0Ｌ）をＲで割っていますから、式の形からも、Ｑが大きいほど、損失が少ない（一般には）良い回路、ということができます（コンデンサについても同様）。 Ｑの「本名」をQuality Factorと言いますが、まさに（共振）回路のQualityを定量的に表しているもの、という意味でしょう。 さらに、Ｑは、(4)式を使ってちょっと変形（ω0＝1/√(ＬＣ)を(6)式に代入）してやると、  という具合に、ＱがＲ,Ｌ,Ｃ各々の値で定まり、共振周波数とは無関係な値として表記することもできます。 ［３］Ｑを周波数帯域と結びつけて考える（以降は「交流回路の基礎理論」（電気学会 2002）p.51を参考にしています）さて、上で、Ｑが大きいということは、強い周波数選択性を持つことだ、と書きました。そこで、以降は共振回路の周波数特性とＱとを結びつける作業に入ります。数式が多くなりますが、じっくり追っていって下さい。 まず、天下り的ではありますが、回路の電流が共振状態から1/√2（直列共振回路の場合）に減少する周波数（共振点を挟んだ両側）を求めます。何故、1/2ではなく1/√2なのか、は後述します。 電流が1/√2になるのですから、回路のインピーダンス|Ｚ|は共振時の√2倍になればいいわけで、  という条件が出てきます。ここで、ωpは、電流値が共振時の1/√2になる時の角周波数です（これが求めるもの）。 (8)式の両辺の平方根を取れば、  となります。さらに、この両辺をω0Ｌで割る（右辺は(6)式を使う）と、  となります。何やら面倒くさそうな式になってきましたが、ｘ＝ωp/ω0（但し、ｘ＞0）と置くと、  となって、ｘの２次方程式となりました。２次方程式が出てきたからには、中学の数学で習った「解の公式」↓  にお出ましいただいて、解くしかありません。(11)式には複号が入っていますから、プラスの時とマイナスの時に場合分けして解きます。まずは複号がマイナスの時で、  と求められますが、√の前の複号のうち、マイナス側はｘ＜0となって条件を満たしませんから、プラス側の解のみを採用します。その時の角周波数をωp+とすると、  と求められます。次に、(11)式の複号がプラスの時の解は、  となりますが、これも√の前の複号のうち、マイナス側はｘ＜0となって条件を満たしませんから、プラス側の解のみを採用します。その時の角周波数をωp-とすると、  と求められます。 延々と方程式を解いてきましたが、結局、求める共振周波数の上下にある、電流が1/√2になる周波数ωp+とωp-は(14)式と(16)式のように求められました。 さて、ここからは、この周波数の性質です。(14)式と(16)式のωp+とωp-の式の形を見て、ピンと来た人は数学のセンスがある人です。まずは、これらを乗算してみます。すると、  と、何ともシンプルな形になりました。(17)式が言っているのは、ωp+とωp-の「相乗平均」がω0になる（√(ωp+ωp-)＝ω0）ということです。別の言い方をすれば、(ωp+＋ωp-)/2≠ω0、つまり、共振周波数ω0はωp+とωp-のセンターに位置するわけではない、ということです。 蛇足なのでこれ以上計算式は増やしませんが、(14)式と(16)式を足して2で割ってみれば、ωp+とωp-の算術平均となる周波数は、(1/2Ｑ)の程度、ω0より上側にずれていることが分かります。また、そのずれ1/2Ｑは、Ｑが大きいほど小さくなるので、Ｑが十分大きければ、共振周波数はほぼωp+とωp-の真中に来る、ということも分かります。 お次は、周波数幅(ωp+−ωp-)とＱの関係です。  となり、共振周波数を周波数幅(ωp+−ωp-)で割ったものがＱに等しい、ということが分かります。この（角）周波数幅ωp+−ωp-を半値幅と言います。1/√2なのに、なぜ半値幅と呼ぶかと言うと、電流（又は電圧）が元の1/√2ということは、電力に換算した時に、半分の値になるからです。フィルタのカットオフ周波数の表記もアンテナのビーム幅（アンテナの場合は半値角）も、電圧比で通過域や最大放射方向の1/√2となる周波数や角度で表記します。dB表記では、3 [dB]落ち、とよく言います。フィルタで言えば、通過域での通過電力を1 （0 [dB]）とすると、カットオフ周波数での通過電力は1/2（-3 [dB]）ということです。 この式が意味するのは、Ｑが大きい（損失が少ない）共振回路ほど、ω0に対する帯域幅ωp+−ωp-が狭い、ということです。共振曲線で言えば、Ｑが大きいほど山の形がより尖った形になる、ということです。 【参考文献】 大平孝 「Ｑファクタは七色仮面」電子情報通信学会誌 Vol.99,No.8,2016 pp.856-857 水野皓司 「今更ながら、Ｑって何？」電子情報通信学会誌 Vo.99,No.12,2016 pp.1191-1192 それでは、解答に移ります。 この問題は、頭がパニックにさえならなければ、5割の確率で点が取れます。選択肢３と４は、逆数の関係ですから、どちらかが間違っています。また、直列共振回路では、抵抗Ｒが大きいほどＱが小さくなる、ということを知っていれば、４が誤りであることは10秒と経たずに正解できるでしょう。 実際の試験の時は、上記のような解き方でもよいですが、世の中にはもっと複雑な問題もあるので、それに対処できるよう、ここでは一応、教科書的な解き方で行きます。まず、(6)式から、選択肢１と３が除外されます。また、(7)式から、選択肢２が除外されます。従って、正解は４と分かります。 | |
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