| □ H29年08月期 A-04 Code:[HB0304] : 交流ブリッジの平衡条件 |
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この問題は、H29年の8月期に始めて出題（選択式になる前は不明）されました。今迄のブリッジの平衡計算は、抵抗だけでしたが、リアクタンス分が加わってきます。１アマらしい基礎の問題です。複素数計算は少し入ってきますが、ブリッジの平衡条件はリアクタンスがあろうがなかろうが、同じ考え方で行けるので、難しく考えなければ解くのは容易です。［１］交流ブリッジの平衡条件とは（抵抗だけの）直流ブリッジの時、検流計に電流が流れない状態（平衡状態）は、検流計の繋がれているノード間の電位差がゼロ、という条件でした。この条件は、電源が交流になり、抵抗がインピーダンスに変わっても、全く同じです。 | |
ここで、Fig.HB0304_aのような交流ブリッジを考えます。それぞれの辺にはＺ1からＺ4のインピーダンスが繋がれており、各々は、下記のようになっているとします。 抵抗のみの時と同じ要領で、ブリッジの平衡条件を求めます。Ｚ1とＺ2での電圧分割比とＺ4とＺ3での電圧分割比が等しいと置いて、 |
 Fig.HB0304_a 交流ブリッジの平衡条件 |
 (6)式のＺ1からＺ4に(1)から(4)式を代入して、  となります。この式が「常に」成立つためには、これを展開した、実数部と虚数部のそれぞれが等しくなければなりません。つまり、 左辺の実数部＝右辺の実数部 かつ 左辺の虚数部＝右辺の虚数部 が、このブリッジの平衡条件、というわけです。これを式で書けば、  となります。(7)式を展開する際に、多少の複素数計算が入ります。複素数計算に自信のない方は、練習問題だと思って実際にやってみて下さい。 ここでの要点は、両辺が複素数である恒等式 複素数式１＝複素数式２ が成立つためには、上の(8),(9)式の両方が成立つことが必要十分条件である、という点です。 実部と虚部が同時に等しい、という条件は、複素数計算でよく用いられます。この方法の便利な点は、「一つの物理現象で２つの条件式が導き出せる」というところです。例えば、ある複素数Ｚ（＝Ｒ＋jＸ）が、ある条件でＺ＝0になるとすると、その条件ではＲ＝0かつＸ＝0の2つの条件を同時に満たす、ということを意味するのです。 ［２］周波数の条件抵抗のみのブリッジの場合、平衡条件は抵抗の定数だけで決まりますが、リアクタンスが入っている交流ブリッジの場合は、交流の周波数にも依存します。このことを考えてみます。 | |
 Fig.HB0304_b リアクタンスが一部にあるブリッジ |
例として、Fig.HB0304_aのＺ1とＺ3の辺だけにリアクタンスＸ1、Ｘ3があって、他の辺はゼロ（Ｘ2＝Ｘ4＝0）の交流ブリッジがあるとします。これを、Fig.HB0304_bに示します。 このブリッジの平衡条件を考える際も、[1]と全く同様にして、(8)式と(9)式にこの条件（Ｘ2＝Ｘ4＝0）を入れてやればよいわけです。 つまり、以下の(10)式から(13)式までを新たな条件として、計算して行きます。 |
 まず(8)式にＸ2＝Ｘ4＝0を代入すると、  となります。ここで、Ｘ1が抵抗に直列のインダクタ（コイル）で、Ｘ3が抵抗に直列のキャパシタ（コンデンサ）でだとすると、  となります。これはいいのですが、(14)式の右辺に(15)式をそれぞれ代入すると、ωが消えてしまい、周波数を含む方程式になりません。そこで、次に(9)式にＸ2＝Ｘ4＝0を代入すると、  となりますから、これを整理して、  という形にします。この式の右辺に(15)式をそれぞれ代入すると、  となります。今度はωが消えていませんので、周波数を求めることができます。(17)式とこの(18)式とを合わせて、以下のように計算できます。  この式を見ると、抵抗のみを含む辺（Ｒ2とＲ4）の定数と周波数は無関係、ということになっています。しかし、これは、Ｒ2とＲ4が何でもいい、ということではなくて、(14)式が成立つ条件の下で、周波数の条件としてこうなる、ということです。 ［３］実際の交流ブリッジ問題集などを見ると、４辺のＺのそれぞれが、抵抗のみだったり、キャパシタ（コンデンサ）やインダクタ（コイル）と抵抗の合成インピーダンスだったり、様々な組み合わせによって、「○○ブリッジ」（○○には人名が入る）という多数の種類のブリッジが出ています。それぞれに平衡条件があるのですが、全部覚えるのは大変ですし、名前のない回路が出ることもあり得ますから、名前や式を覚えることよりも、上に述べた「交流ブリッジの平衡とは何か」を理解し、そこから(8),(9)式を導出できることが重要です。通常、４辺全てに抵抗分とリアクタンス分の両方が含まれていることは余りなく、つまり、Ｘ1からＸ4、Ｒ1からＲ4のうち、どれかがゼロのことが多いので、(8),(9)式ほど複雑になることはありません。 それでは、解答に移ります。 この問題では、Fig.HB0304_aの中のＸ1とＸ2がともにゼロ（これらの辺は抵抗だけ）なので、(8),(9)式は下記のように大変簡単になります。(8)式より、 Ｒ1Ｒ3＝Ｒ2Ｒ4 …(a) この式は、ブリッジが抵抗だけの場合の式と同じです。また、(9)式より、 Ｒ1Ｘ3＝Ｒ2Ｘ4 …(b) となりますが、Ｘ3,Ｘ4については、問題図ではここはキャパシタ（コンデンサ）ですから、交流電源の角周波数をω [rad/s]とすると、 Ｘ3＝-1/（ωＣS） …(c) Ｘ4＝-1/（ωＣX） …(d) これらを(b)式に代入して、 Ｒ1/（ωＣS）＝Ｒ2/（ωＣX） これをＣXについて解いて、 ＣX＝(Ｒ2/Ｒ1)ＣS…(e) となります。(a)式と(b)式から導かれた(e)式にωが含まれていないので、このブリッジでは、平衡条件は交流電源の周波数に依存しないことが分かります。（これは、特殊な場合で、一般には平衡条件は、条件式(8)と(9)の両方を満たす必要があり、周波数に依存します。） (a)式と(e)式から、正解は５と分かります。 | |
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