| □ H29年04月期 A-24 Code:[HJ0103] : 電圧計の内部抵抗、電流計のシャント抵抗による測定誤差の計算 |
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簡単な合成抵抗の問題なので、計算の得意な方なら暗算で解けてしまうかもしれません。ここでは、電圧計の内部抵抗と電流計の分流抵抗について、定量的に解析してみます。［１］電圧計の内部抵抗と誤差Fig.HJ0103_aのように、抵抗Ｒ1とＲ2が直列になっている回路に、電源ＶDが接続されているとします。Ｒ2の両端に、内部抵抗ＲVの電圧計を当てて、電圧を測ろうという回路です。 | |
 Fig.HJ0103_a 電圧測定回路 |
本来、理想的な電圧計ならＲVが∞で、電圧計側に流れる電流ＩMが零になります。現実はそうはいかないので、有限のＩMが流れ、その分、電源から流れ出る電流ＩDが増えて、Ｒ1での電圧降下Ｒ1ＩDが増加し、ＶLが低下します。この分が誤差ΔＶとなります。 そこで、まず、電圧計がない時の、真のＶLであるＶL0を求めてみます。これは、単に電源電圧ＶDをＲ1とＲ2で電圧分割するだけなので、  となります。 |
次に、電圧計がある時を考えると、(1)式のＲ2が、Ｒ2とＲVの（並列）合成抵抗Ｒ2Vになった、と考えれば良いわけで、 となります。電圧計を接続した時のＶLを上と同様にＶL1と書けば、(2)式を(1)式のＲ2に代入して（ちょっと面倒な計算ですが）、  と求められます。電圧計の有無による誤差を知りたいので、実測定値ＶL1の真の値ＶL0に対する誤差ＥVを求めると（これまたちょっと面倒くさい式ですが）、  となります。通常は、Ｒ1,Ｒ2≪ＲVの状態で測定しますから、(4)式の分母の第1項は無視できます。 上記が、「教科書的な」解き方です。この設定では、抵抗が3本あり、式が複雑です。実際の試験の場面では(4)式を導出している間に制限時間が来てしまいそうですので、実戦的には、Ｒ2とＲVの並列抵抗Ｒ2Vを求め、Ｒ1との電圧分割比を求める方法で、誤差や誤差率を求めるのが賢明だと思います。 ［２］電流計の内部抵抗と誤差電流計の場合も同様です。Fig.HJ0103_bのように、抵抗Ｒ1を電源ＶDに接続し、流れている電流を内部抵抗（分流抵抗）ＲSの電流計で測ろうというものです。 | |
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理想的には、ＲSが零であれば、電流計は測定系に影響を与えませんが、それではメータＭが振れませんので、ＲSは小さな抵抗値ながら、有限な値を持たなければなりません。 すると、元々Ｒ1だった回路全体の抵抗値がＲ1＋ＲSに上がり、ＩDが減少するので、その分が誤差になります。 電圧計の時と同様、まず、理想的にＲSが零の時のＩDであるＩD0を求めると、これは単に電源ＶDに抵抗Ｒ1が接続されているだけなので、 ＩD0＝ＶD/Ｒ1 …(5) |
 Fig.HJ0103_b 電流測定回路 |
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次に、ＲSが零でない電流計を接続したとすると、回路の電流ＩD1は、 ＩD1＝ＶD/(Ｒ1＋ＲS) …(6) となりますから、実測定値の真の値に対する誤差ＥI [%]は、 ＥI＝(ＩD0−ＩD1)/ＩD0×100 ＝(1−ＩD1/ＩD0)×100 ＝[1−Ｒ1/(Ｒ1＋ＲS)]×100 ＝ＲS/(Ｒ1＋ＲS)×100 …(7) となります。通常は、ＲS≪Ｒ1となる電流計を選択して使いますから、その範囲では、 ＥI≒ＲS/Ｒ1×100 …(8) となります。電流計は、ＩM＝0としているので、(4)式のような複雑なことにならずに済んでいます。 それでは、解答に移ります。 電圧計の問題ですが、上にも書いたように(4)式をまともに導出してから値を代入して「きれいに」解こうとすると、時間ばかりかかるので、Ｒ2とＲVの合成抵抗を求めてから、誤差を求めるのがよさそうです。 まず、電圧計を接続しない時のａｂ間の電圧ＶL0は、 ＶL0＝ＶＲ2/(Ｒ1＋Ｒ2)＝60×100/(100＋200)＝20 [V] …(a) 次に、電圧計を接続した時のａｂ間の電圧ＶL1を求めます。最初に、Ｒ2とＲVの合成抵抗ＲXを求めると、 ＲX＝Ｒ2ＲV/(Ｒ2＋ＲV)＝100×900/(100＋900)＝90 [kΩ] …(b) となりますから、(a)式を求めた時と同様に電圧分割比からＶL1を求めれば、 ＶL1＝ＶＲX/(Ｒ1＋ＲX)＝60×90/(90＋200)＝18.62 [V] …(c) となりますが、この問題で問われているのは誤差の絶対値、つまり(a)-(c)の値なので、20-18.62＝1.38 [V]で、２が正解と分かります。 | |
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