| □ H28年12月期 A-11 Code:[HE0302] : AM変調で、無変調時の出力電圧と変調度から、変調時の出力電圧を求める公式 |
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ＡＭ変調率と、それに絡む高周波電圧値の問題ですが、これまでは変調率ｍの時の全電力を求める公式を選ぶ問題でした。今回（2016年12月期）始めて「式」を選ぶのではなく、搬送波の振幅から実効電力を求める、という形で出題されましたので、分類は同一で、新たに解説を起こします。［１］AM変調における搬送波と側波帯の振幅成分単一正弦波で変調した時、電力を基準に考えると、搬送波が（電力比で）１だとすると、変調度が１(100%)でも両側波帯の占める電力は0.5(1/2)、単側波帯では0.25(1/4)にしかなりません。このことを、計算で確かめてみましょう。 まず、搬送波の電圧（最大値）をＶc、角周波数をωc、信号波の電圧（最大値）をＶs、角周波数をωs、変調度をｍとします。この時、搬送波の瞬時値ｖcと信号波の瞬時値ｖsはそれぞれ、 ｖc＝Ｖcsinωcｔ …(1) ｖs＝Ｖscosωsｔ …(2) また、振幅については、定義から Ｖs＝ｍＶc ∴ ｍ＝Ｖs/Ｖc …(3) と表せます。変調波の瞬時値をｖamとすると、 ｖam＝(Ｖc＋ｖs)sinωcｔ ＝Ｖc{１＋(Ｖs/Ｖc)cosωsｔ}sinωcｔ ＝Ｖc(１＋ｍcosωsｔ)sinωcｔ …(4) さらに、(4)式を三角関数の和の公式を使って展開して、 ｖam＝Ｖcsinωcｔ＋ｍＶccosωsｔsinωcｔ ＝Ｖcsinωcｔ＋(ｍＶc/2){sin(ωc＋ωs)ｔ＋sin(ωc−ωs)ｔ} ＝Ｖcsinωcｔ＋ (ｍＶc/2)sin(ωc＋ωs)ｔ＋(ｍＶc/2)sin(ωc−ωs)ｔ …(5) (5)式において、赤字が搬送波、青字が上側波帯、緑が下側波帯の成分ということになります。 ［２］搬送波の電力、側波帯の電力これらは、電圧比ですから、電力比に直してみましょう。 | |
 Fig.HE0302_a AM変調波の変調率と電力 |
本当は時間で積分しなければなりませんが、これらのどの成分も同じインピーダンスＺの負荷（例えばアンテナ)に流れ込むので、比を求めるなら単に電圧の２乗比でよく、 搬送波電力 Ｐc＝Ｖc2/2Ｚ …(6) 上側波帯電力 ＰU＝(ｍＶc/2)2/2Ｚ …(7) 下側波帯電力 ＰL＝(ｍＶc/2)2/2Ｚ …(8) となります。 |
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当然のことながら、上側波帯と下側波帯は対称なので、(7)と(8)からも分かりますが、それらの電力は等しく、 ＰU＝ＰL …(9) です。また、Ｐcに対するＰUやＰLの比率は、 ＰU/Ｐc＝ＰL/Ｐc ＝{(ｍＶc/2)2/2Ｚ}/(Ｖc2/2Ｚ) ＝ｍ2/4 …(10) となりますから、確かに、変調率ｍ＝1の時、単一の側波帯の電力は搬送波の1/4になっていることが分かります。しかも、ｍの二乗なので、ｍ＝0.7では約1/8になってしまいます。全電力ＰTを搬送波電力Ｐcで表せば、 ＰT＝Ｐc＋ＰU＋ＰL＝Ｐc(１＋ｍ2/2) …(11) となります。これで、変調度と搬送波電力が与えられた時のAM波の電力、あるいは、搬送波電力とAM波の電力が分かっている時の変調度の計算などが可能になりました。 それでは、解答に移ります。 送信機の出力インピーダンスとアンテナ系は整合していて、そのインピーダンスがＺ0 [Ω]だとします。問題から、搬送波のみの時の高周波電圧の最大値がＥC [V]だと言っているので、搬送波の送信電力ＰC [W]とＥC、Ｚ0の関係は、  となります。求める、変調率がｍの時の高周波実効値（電圧）をＥT [V]、全電力をＰT [W]とすると、実効値の定義から、  が成立たなくてはなりません。(a1)及び(a2)式のＰCとＰTを解説の(11)式（下記に再掲）  に代入すると、  となるので、この両辺にＺ0を乗じて√を取れば、  と表せます。従って、３が正解と分かります。 この問題は、実効値なのか、最大値（＝波の振幅）なのかを間違えないようにすることがカギになります。これができてしまえば、後は微分も積分も三角関数もない簡単な計算です。 | |
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