| □ H28年12月期 A-03 Code:[HB0104] : 抵抗からなる回路網の合成抵抗・枝の電流・未知の抵抗値等の計算 |
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この回路を見た時、電源が3つなので、反射的にキルヒホッフ＝連立方程式で解くもの、と考えますが、よく見ると、連立方程式では解けないようにできています。問題を分解してみれば、電荷保存とオームの法則だけで解けるのですが、それが見抜けた方はパニックにならずに済むと思います。 また、元々、連立方程式が苦手で、オームの法則だけで解いてきた方には、苦もなく解けると思います。 ［１］連立方程式で解こうとすると…この問題を連立方程式で解こうとすると、未知数が多過ぎて解けないことが分かります。キルヒホッフの法則が成り立たないわけではなく、連立方程式が解けないのです。例えば、方程式が3本立つなら、一般に未知数は3個まででなければ解けません。ところが、この問題は、4個も未知数があるので、何か違う方法で解かなければならないことが分かります。こんな時は、使えそうな電気物理の道具を駆使して、見通しを立て、分かる所から攻めて行くのが良いでしょう。（実は、気付いてしまえば「なーんだ」ということなのですが、その「使える道具」というものが、キルヒホッフの第一法則と第二法則と同じ考え方であることが後で示されます。） ［２］問題の回路をよく見て、見通しを立てるFig.HB0101_hにこの問題の電流、電圧、抵抗の状況を整理してみました。茶色の「未知」となっている変数が未知数ですが、この回路では、未知数が4個あるので、連立方程式の解法では見通しが立ちません。（この状況を見た段階で、他の方法を考えるのが賢明かと思います。） | |
 Fig.HB0104_h 問題文から状況を整理 |
さて、どうしたものでしょうか。糸口として、一番左の枝は、電流、電圧（電源の起電力と抵抗の電圧降下）が計算できることが分かります。ならば、Node GとNode Dの電位差も分かりそうです。そこで、回路図の一番下のNode Gを基準（GND）電位に決め、他のノードもFig.HB0104_hのように決めて、解析して行きます。 まず簡単な所から行くと、一番右の枝（Ｒ3とＶ3から構成される経路）に流れる電流をＩ3（上向きの電流を正に取る）とすると、Node Dに流れ込む電流の総和はゼロ（この着眼点は、キルヒホッフの第一法則…電荷保存…に他なりません）のはずですから、 |
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Ｉ1−Ｉ2＋Ｉ3＝0 …(1) ∴ Ｉ3＝Ｉ2−Ｉ1 …(2) が成り立ちます。 各電流の向きは、図中の矢印の向きを正に取っていますが、未知の電流については、仮に方向を決めておき、答えがマイナスで出てきたら、実際の電流の向きは逆だ、と理解します。これで、未知数の一つが消えました。 Fig.HB0104_hの中で、着眼点(2)とある部分の未知数のうち、残るはＲ3のみとなりました。次は、これを求める方法を考えます。 ［３］残りはオームの法則で解ける次は、何か「既知の量から導き出せる値はないか」を探します。文字でいろいろ書いても分かりづらいので、説明のためにFig.HB0104_iのような「レベルダイアグラム」を使います。（ここでは、考え方の説明のためなので、試験の際にこれを描け、ということではありません。） | |
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一番左のＲ1とＶ1から構成される経路を着目点(1)とすると、上で書いたように、ここのパラメータは全て既知なので、この両端の電圧、つまり、Node Dの電位ＶDが下記のように求められます。 ＶD＝Ｖ1−Ｒ1Ｉ1 …(3) これは、Fig.HB0104_i左側のレベルダイアグラムに示されています。 基準電位のNode GからNode A、Node Dの方向に見て行きます。基準電位から電源電圧Ｖ1だけ上昇したのがNode Aの電位で、ここからＲ1による電圧降下分Ｒ1Ｉ1だけ下がったのが、Node DのＶDということになります。 同様に、一番右の枝の着目点(2)についてもレベルダイアグラム（Fig.HB0104_i右）を作って式を立てると、 |
 Fig.HB0104_i 回路の枝のレベルダイアグラム |
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ＶD＝Ｖ3−Ｒ3Ｉ3 …(4) となります。 (3)式＝(4)式、ですから、ここまでくれば、後は一気に計算です。（なお、ここで着目した「(3)式＝(4)式」は、この回路の左の枝と右の枝からなるループを一回りした時の起電力と電圧降下の合計がゼロ、というキルヒホッフの第二法則に他なりません。） Ｖ1−Ｒ1Ｉ1＝Ｖ3−Ｒ3Ｉ3 これをＲ3について解いて、 Ｒ3＝(-Ｖ1＋Ｒ1Ｉ1＋Ｖ3)/Ｉ3 この式のＩ3に(2)式を代入すれば、 Ｒ3＝(Ｖ1−Ｒ1Ｉ1−Ｖ3)/(Ｉ1−Ｉ2) …(5) ここまででお気づきかと思いますが、真中の枝の値（Ｒ2とＶ2）は、全くの放置でもＲ3やＩ3の値が出せます（Ｒ2とＶ2はこの問題の条件からは決まらない）。 問題を見た時、あるいは、キルヒホッフだと思って方程式を立て始めてからでも構いませんが、うまく行かないと判断したら、慌てず、手持ちの道具で何とかならないか、分かる所から順に崩して行けないか、という攻め方を検討してみることが重要です。 それでは、解答に移ります。 Ｒ1＝2000 [Ω]，Ｉ1＝0.003 [A]，Ｉ2＝0.001 [A]，Ｖ1＝14 [V]，Ｖ3＝2 [V]を(5)式に代入して、 Ｒ3＝(14−2000×0.003−2)/(0.003−0.001) ＝3000 [Ω]＝3.0 [kΩ] 従って、正解は５と分かります。Ｒ2とＶ2の値を無視しても解けると分かったら、上記のような理屈をこね回さなくても、暗算でも答えが出せます。 この問題は、(5)式に値を放り込んでしまえば答えは出るのですが、実際に計算をやってみると、途中でＩ3＝-2 [mA]と、負の値が出てきてしまいます。これは、解説の本文にも書いたように、最初に設定した電流の向きが逆であるためで、間違いではありません。 物理現象としては、この問題では「電池の記号」の直流電源に電流が流れ込む方向になり、「充電」されていることになります。現実の系ではありえないことですが、試験問題は「理想モデル」、電源の記号は「理想電圧源」ということですから、現実とは切り離して考えます。 | |
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