| □ H25年08月期 A-01 Code:[HA0204] : 正負の２点電荷間の平衡点位置の計算（クーロンの法則） |
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この問題を解くには、２つのポイントがあります。まず、クーロンの法則を理解していることと、次に「電界がゼロになる」という物理的な意味を理解していることです。［１］電界がゼロになる、とは？まずはじめに、電界がゼロになる点、というのはそもそもどんな点なのかを理解しておきます。まず、電界というのは、ある電場の中に「単位正電荷（+1 [C]のこと）」を置いた時、その電荷に働く力で定義されます。電界が強ければ強いほど、その電荷に働く力は大きくなり、電界がゼロなら力は働きません。もちろん、働く力は電荷の量に比例し、負電荷なら力の向きが逆になるだけです。 ［２］クーロンの法則で考える２つの正電荷ＡとＢに挟まれた空間（電場）で、電界がゼロになる点をFig.HA0204_aのように考えてみます。 | |
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この空間では、単位電荷がＰ点で受ける力は、Ａからの反発力とＢからの反発力になります。Ｐ点の電界がゼロだ、ということは、この２つの力の大きさが同じで向きが逆、ということです。 「電界がゼロになる」ということと「力を及ぼすものが何もない」のとは意味が違うことにご注意下さい。ここでは「力を及ぼすものが２つあって、その力がつりあっているという点が、電界がゼロになる点だ」、ということです。 それでは、クーロンの法則を使って、具体的に解いていきます。 |
 Fig.HA0204_a 電界の平衡点 |
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電界がゼロになる点をＰとして、点ＰとＡの距離をｘ[m] 点ＰとＢの距離をｄ−ｘ[m] とします（ＡＢ間はｄ[m]）。 Ｐ点に置いたＱ[C]がＡから受ける力ＦAとＢから受ける力ＦBとは、大きさが等しいので、 ＦA＝ＦB …(1) が成り立ちます。一方、クーロンの法則から、２つの電荷（ここではＡとＱ、または、ＢとＱ）の間に働く力は距離の２乗に反比例しますから、比例定数をkとして、 ＦA＝kＱAＱ/ｘ2 …(2) ＦB＝kＱBＱ/(ｄ−ｘ)2 …(3) (1)に(2)(3)を代入して整理すれば、 ＱA(ｄ−ｘ)2 = ＱB(ｘ2) …(4) (4)式の両辺の正の平方根（ｄ＞ｘは明らかだから、ｄ−ｘ＞０）を取って、 (ｄ−ｘ)√ＱA＝ｘ√ＱB …(5) ですから、これをｘについて解いて、 ｘ＝ｄ√ＱA/(√ＱA＋√ＱB) …(6) で、となります。 それでは、解答に移ります。 求めたいＢの電荷をＱB [C]として、(4)式に、ｘ＝ＰＡ＝1 [m]、ｄ−ｘ＝ＰＢ＝2 [m]、ＱA＝Ｑを代入すると、 Ｑ・ＰＢ2＝ＱB・ＰＡ2 ∴ ＱB＝Ｑ・ＰＢ2/ＰＡ2＝4Ｑ となりますから、正解は２と分かります。 これまで、類似の問題は、２つの電荷が与えられていて、その２つを結ぶ直線上で電界が零となる位置を求めるものでしたが、今回は、一つの電荷と電界が零の位置が与えられていて、他方の電荷を求めるものです。電界が零となることの意味を理解しておけば、どちらが出題されても、四則演算だけの計算になります。 計算の得意な方なら、クーロンの法則のツボ（力が距離の２乗に反比例）さえ分かれば、以下のようにして暗算で求めることもできます。 Ａの電荷をＱ、ＡＰ＝1、ＢＰ＝2とすれば、ＢはＰからの距離がＡの2倍ありますから、Ｂの電荷としては22＝4倍、つまりＢは4Ｑの電荷量がなければ同じ大きさの力となり得ません。 なお、ＢがＡと逆符号の電荷を持っていたとすると、ＡＢ間の直線上に、電界の強さが零となる点はありません。従って、選択肢の４と５は最初から除外できます。 | |
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