デシベル計算増幅器減衰器利得（増幅度）損失（減衰量）指数・対数計算電力比較電圧比較

無線工学 > １アマ > H21年04月期 > A-08
A-08	ある増幅回路において、入力電圧が1 [mV]のとき、出力電圧が1 [V]であった。このときの電圧利得の値として、正しいものを下の番号から選べ。

１	90 [dB]
２	60 [dB]
３	50 [dB]
４	30 [dB]
５	10 [dB]

　無線の世界では、回路の設計をする際には振幅や電力は真値で表示するケースもありますが、伝送路の減衰やアンテナ、アンプの利得といったものはほとんど全てデシベル（対数）で表記されます。

［１］指数・対数の復習

　まず復習がてら、指数と対数について確認した後、デシベルと真値の変換方法や、ちょっとしたコツなどを書いてみました。まずは指数・対数の復習です。「俺はこんなの知ってる」という方はいきなり解答まで進んでも構いません。
　Ａ,Ｂがそれぞれ正の数、ｎ,ｍが任意の数だとすると、

　log（ＡＢ）＝logＡ＋logＢ　…公式(1)
　log（Ａ/Ｂ）＝logＡ－logＢ　…公式(2)
　log（Ａⁿ）＝ｎlogＡ　…公式(3)
　Ａ^n＋m＝Ａⁿ×Ａ^m　…公式(4)
　Ａ^nm＝（Ａⁿ）^m　…公式(5)
電気の世界では通常、logは10を底（てい）とする、常用対数を使用します。すなわち、log10＝1ということです。また、公式ではありませんが、特徴的な以下の数値は覚えておくと便利です。問題に良く出る数値で、最小限に止めておきます。
　０ [dB]＝10log1
　３ [dB]≒10log2.0
　４ [dB]≒10log2.5
１０ [dB]＝10log10
２０ [dB]＝10log100
デシベル計算で使う公式・数値はこの程度です。覚える公式は数が少ない方がいいですから。公式(1)～(5)までを覚えていれば、０dBや10の倍数のデシベル値は覚える必要はありません。この値だけでも、上の公式と組み合わせれば、かなりないろいろな数が作れます。

　例えば、ある系（アンプ・ケーブル・アンテナ・フィルタ…）があって、入力がＡ、出力がＢ（ＡやＢは電圧や電流、または電力）だとすると、その系の「利得」（又は「損失」）Ｇ（デシベル）は、
　Ｇ_a＝20log（Ｂ/Ａ） [dB]　…電圧または電流利得（損失）
　Ｇ_p＝10log（Ｂ/Ａ） [dB]　…電力利得（損失）
と表されます。あとはＡやＢに問題で与えられた数値を入れたり、利得をかけたりして、ＡやＢの中身が公式で簡単にできるなら簡単にしてから計算するだけです。なお、一般にＡとＢは同じ次元を持つ量でなければなりません。
　ちなみに、係数が20（電流・電圧）と10（電力）で違うのは、以下のような理由によります。電圧や電流などの「一次変量」の比率を表現するものと、「電圧×電流」、「電流²×抵抗」あるいは「電圧²/抵抗」のように電圧や電流の「二次変量」で表現される電力を、同じ利得を同じデシベル値で表現するためです。電流や電圧が一次の量で、電力が二次の量なので、電力の係数を電圧や電流の半分にしてやらないと同じ値にならないからです。
　また、増幅器やアンテナ等、比較する基準に対して大きく出力が出てくるものは、デシベル値が正の値になりますが、ケーブルや（受動素子のみからなる）フィルタ、減衰器等の入力に比べて出力が小さくなるものは、負の値になります。ただ、これも厳密なものではなく、例えば減衰器（アッテネータ）は入力より出力が小さいに決まっているので、わざわざ負の値で「そこの-10dBのアッテネータ、取って」などとは言いません。自由空間伝搬の減衰量なども、伝搬すれば電界強度も単位面積当たりの電力も小さいに決まっているので、マイナスは付けません。
　ですから、デシベルの値が出てきた時は、それが「増加」や「利得」のことを言っているのか、「減衰」や「損失」のことを言っているのか、に注意する必要があります。

［２］デシベルから真数への換算表

　では、下記に、私が考えた、デシベルから真数への変換について、簡単な計算とともにコツをまとめておきます。

デシベル	変換方法	真値 (電力)
1 [dB]	4-3 [dB]と考えると、公式(2)でA=2.5, B=2なので真値＝2.5/2	1.25
2 [dB]	6-4 [dB]と考えると、公式(2)でA=4, B=2.5なので真値＝4/2.5	1.6
3 [dB]	上記の通り（10log2.0）	2.0
4 [dB]	上記の通り（10log2.5）	2.5
5 [dB]	2＋3 [dB]と考えると、公式(1)でA=2, B=3なので真値＝1.6×2	3.2
6 [dB]	3×2 [dB]と考えると、公式(3)でA=2（10log2≒3）, n=2なので真値＝2²	4
7 [dB]	10-3 [dB]と考えると、公式(2)でA=10, B=2なので真値＝10/2	5
8 [dB]	2×4 [dB]と考えると、公式(3)でA=2.5, n=2なので真値＝2.5²	6.25
9 [dB]	3×3 [dB]と考えると、公式(3)でA=2, n=3なので真値＝2³	8

　
10 [dB]以上の値や、電圧・電流比のデシベル表示についても、同様に考えれば、様々な値に応用が利くことと思います。もちろん、この表を逆に使って、真値→デシベルの変換もできます。

それでは、解答に移ります。
　この問題では、電圧利得を問うています。入力Ａが1 [mV]で出力Ｂが1 [V]＝1000 [mV]ですから、中程にある電圧利得Ｇ_aの式より、
　Ｇ_a＝20log(Ｂ/Ａ)＝20×log1000＝60 [dB]
となります。従って、正解は２と分かります。くれぐれも、logの前の係数を10にしないようにご注意下さい。