| □ H20年08月期 A-04 Code:[HB0107] : ポテンショメータと負荷の電流・電圧からスライダの位置を求める |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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キルヒホッフも必要なく、オームの法則しか出てこないので、簡単なはずなのですが、計算が面倒です。私が解いたら、二次方程式まで出てきてしまいました。どなたか、簡単に計算できる方法をご存知でしたら、教えて下さい。行列式を使って、スマートに解くとか…［１］オームの法則に従って方程式を立てるまず、この回路ですが、ポテンショメータです。普通は、Ｂがスライドできるようになっている可変抵抗です。 | |
 Fig.HB0107_a 各抵抗に着目した電流と電圧 |
さて、今後どんな問題が出題されるか分かりませんので、この問題に特化した数値ではなくて、文字式にして解いて行きます。 Fig.HB0107_aのように、電圧や電流を取ります。まずは、当たり前な方程式から。 Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2…(1) Ｉ1＝Ｉ2＋Ｉ3 …(2) また、問題の中で、ポテンショメータの全抵抗（Ａ−Ｃ端の抵抗値）Ｒ0が与えられている場合は、 Ｒ0＝Ｒ1＋Ｒ2 …(3) も条件に加わります。 |
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この他、Ｒ1〜Ｒ3にかかっている電圧と電流について、オームの法則から、 Ｅ1＝Ｉ1Ｒ1 …(4) Ｅ2＝Ｉ2Ｒ2 …(5) Ｅ2＝Ｉ3Ｒ3 …(6) の合計６本の方程式ができます。後は、問題で与えられている数値を既知数として、未知数について解いてゆく「だけ」ですが、この「だけ」の中身は、ひたすら計算なので、慌てず間違えないようにして下さい。 （ここでは、問題が何を求めているかによって、計算の過程が異なるので、方程式を立てるところまでに留めます。具体的な計算は、解答の中で行ないます。 それでは解答に移ります。 （以下、数式に単位を省略します。）まず、Ｅ1は与えられている数値と(1)から簡単に求められて、 Ｅ1＝Ｅ−Ｅ2＝100−12＝88 …(a) です。また、Ｉ3＝5 [A]なので、(2)式は、 Ｉ1＝Ｉ2＋5 Ｉ1−Ｉ2＝5…(b) と変形できます。ポテンショメータの抵抗値については、(3)式から、 Ｒ1＋Ｒ2＝10 Ｒ1＝10−Ｒ2…(c) と変形できます。ここで、(4)と(a)及び(5)から、 Ｉ1＝88/Ｒ1 …(d) Ｉ2＝12/Ｒ2 …(e) と変形して、(d),(e)を(b)に代入すると、 88/Ｒ1−12/Ｒ2＝5 …(f) となります。ここでさらに、(f)のＲ1を(c)で置き換えて、 88/(10−Ｒ2)−12/Ｒ2＝5 …(g) 途中の計算は省略しますが、(g)は Ｒ22＋10Ｒ2−24＝0 …(h) となって、Ｒ2の二次方程式が出てきます。「何だ、あの（中学で習った）二次方程式の解の公式かよ…忘れちまったな。」と思いますが、良く眺めてみると、(h)式は (Ｒ2−2)(Ｒ2＋12)＝0 …(i) と因数分解できる（足して10、掛けて-24になる数は…とやる）ので、Ｒ2＝2 or -12となります。マイナスの抵抗はありえないので、ここは、 Ｒ2＝2 [Ω] となりますから、正解は４と分かります。 私も計算が苦手なので、この量の計算になると、必ずと言っていいほど、桁の違う答えしか出てこなかったり、√の中がマイナスになったりしてうんざりしますが、一つ言えることは、変数が山ほどあって、既知数も山ほどある場合は、必要以外の未知数は方程式の中に入れないことです。既知数は既知数で数式の中に織り込んでしまい、最終的に要らない未知数（今回ならＲ1やＩ1を消去して、早く求める未知数Ｒ2だけの方程式を作ってしまうことです。この道筋が見通せれば何とかなるんですが、普段紙とペンで計算を繰り返していないと、私のようになかなか上達しません。 もし、上手く因数分解できなかったら、正直に二次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解の公式、 ｘ＝{-ｂ±√(ｂ2−4ａｃ)}/2ａ を使って下さい。 | |
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