| □ H20年08月期 A-02 Code:[HA0309] : コンデンサに蓄えられるエネルギーの公式と計算 |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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この手の問題は公式を覚えていれば解けますが、頭についている1/2を落とすことがあります。試験に合格するためだけなら不必要ですが、「何故そうなっているのか」を考えてみることにしました。［１］コンデンサに蓄えられるエネルギー容量Ｃ [F]のコンデンサに電圧Ｖ [V]で充電した時、蓄えられているエネルギーＷ [J]は、次の公式で表されます。Ｗ＝(1/2)ＣＶ2 …(1) 「これはもう公式なんで、覚えて下さい」と書いてしまっては、あまり面白くありません。私などは、「頭に付いてる1/2は何なんだ？」と気になって覚えられません。記憶だけに頼ると、他の公式とまぜこぜになって、すぐこの1/2を忘れてしまいます。 また、このページは、１アマの問題を題材にして無線技術の基礎の勉強をするのが（一応の）目的なので、丸暗記するのではなく、少しでも本質に迫ってみようと思います。 ［２］コンデンサに充電する、という物理的意味コンデンサにエネルギーが溜まる、というのはどういうことか、を考えてみます。平行平板コンデンサを考えて、両極板に電荷が蓄積（つまり充電）しないと、エネルギーが蓄えられないのは当然ですが、ここではエネルギー（＝物理用語で「仕事」と等しい）を明確にするため、次のように考えます。コンデンサの静電容量はＣ [F]、両極の電位をＶ [V]、極板間隔をｄ [m]、極板間の一様な電界をＥ [V/m]（＝Ｖ/ｄ）として、
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 Fig.HA0309_a 微小電荷を運ぶ |
Fig.HA0309_aにこの動作の様子を示します。この図の左が電荷Δｑを動かす前、右が動かした後です。 このようにして（目に見えない「小人」にお願いして）、少しづつ電荷Δｑを何度も運び、最終的に両電極に±Ｑ [C]の電荷が溜まって正極の電圧がＶ [V]になった状態と、普通に電源から充電してこの状態になったのと、物理的には全く違いはありません。つまり、どのような方法を用いても、コンデンサに溜まっているエネルギーはこの状態では同じです。 |
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Δｑを１回運んだ後は、正極の電位がΔＶ（＝Δｑ/Ｃ）だけ上昇しているので、次にΔｑを運ぶ時は、電界がΔＥ（＝ΔＶ/ｄ）だけ強くなっていて、電荷を運ぶのに要する仕事はΔＷだけ増加します。運べば運ぶほど、電界が強くなるので、一度に要する仕事量（コンデンサのエネルギーの増分）は大きくなります。 そして、正電極の電圧がＶ [V]になるまでに「小人」さんがしたトータルの仕事Ｗが、コンデンサに蓄えられているエネルギーに等しい、というわけです。ではそのＷは、どのようにして求めればよいのでしょうか？ ［３］電荷を運ぶための仕事量の総和を求めるFig.HA0309_bにその計算方法を示します。横軸に蓄積されている電荷量Ｑ [C]を取り、縦軸にはその時のコンデンサの極板間電圧ｖ [V]を取ります。蓄積電荷量が多くなるほど、一回のΔｑの運搬に要する仕事ΔＷ＝「短冊の面積」が大きくなって行くのが分かります。 | |
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一回に運ぶ電荷量がΔｑなので、要する仕事量（＝コンデンサに蓄えられるエネルギーの増加分）ΔＷは、 ΔＷ＝Δｑｖ＝ＣｖΔｖ …(2) と書けます（Ｑ＝ＣＶなので、Δｑ＝ＣΔｖだから）。この作業が終わる（ｖがＶ [V]になる）までに要した仕事の総量Ｗ [J]を求めるには、(2)式の両辺を積分すればよく、 Ｗ＝Ｃ∫ｖdｖ＝(1/2)ＣＶ2 …(1) となります。なお、ｖの積分範囲は０〜Ｖです。さらに、この式にＱ＝ＣＶを代入して書き換えれば、 Ｗ＝(1/2)ＱＶ …(4) |
 Fig.HA0309_b 蓄積エネルギーの計算 |
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となります。Fig.HA0309_bをみれば、水色の部分の面積を求めていることになりますが、「この面積を求めるのに積分まで持ち出すとは、なんと面倒なことを…」と思われるかもしれません。右下の水色の三角形を見れば、 Ｗが、底辺の長さがＱで、高さがＶの直角三角形の面積 であることがすぐに分かります。なので、Ｗ＝(1/2)ＱＶと求めるだけで、積分など何も使わずに済むからです。 ともあれ、この結果から分かることは、蓄えられるエネルギーは ・容量が同じなら電圧の２乗に比例（(1)式） ・蓄えられている電荷量と極板間電圧の積に比例（(4)式） することが分かります（上の２つは、同じ現象を違った見方で見たものに過ぎません）。 ［４］エネルギーが蓄積されている場所ちょっと横道にそれますが、このＷなるエネルギーが蓄えられている場所はどこでしょうか？ 電極？それとも誘電体？ 「真空コンデンサ」なんていうものもありますから、真空にエネルギーが蓄えられるなんて考えにくいですが、電磁気学は明快に「極板に挟まれた空間である」と答えています。この辺は、分かりやすく書かれた本がほとんどなくて残念なのですが、電荷が全くなければ「電場（電界の及ぶ空間）」がなかったにもかかわらず、極板に電荷が溜まると、挟まれた空間に、電場という「それがない場所よりもエネルギーの高い状態を持った空間」が出現し、ここにエネルギーが蓄えられる、という解釈になっています。ならば、電荷の溜まったコンデンサから、誘電体のみを切り出してくれば、エネルギーが保存できるのでは？と考えますが、そんなことはできません。なぜなら、その電場を作り出しているのは極板に蓄えられた電荷であり、誘電体がそこ（極板間）から遠ざかってしまえば、もはや電場は誘電体のある場所には存在しないからです。 それでは解答に移ります。 ここまで読んでいただければ、正解は(4)式から４と分かります。 １アマの問題で積分を持ち出すことはまずありませんが、頭に付いている係数（1/2）を説明しようとすると、どうしても出てきてしまうのです。ここではあえて突っ込みましたが、試験を受ける時はコンデンサのエネルギーの公式は覚えておくしかないでしょう。最後に、同じエネルギーの式ですが、(1)式と(4)式を混同しないようにご注意下さい。 | |
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