| □ H20年08月期 A-01 Code:[HA0310] : 二つの導体球電荷を与えた後に接続し、電荷の移動量を計算する |
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一見純粋な物理の問題のようでいて、実はコンデンサの並列に置き換えれば解けてしまう、という問題です。［１］カギは導体球と地球との間に作るコンデンサこの問題は平成20年8月期の時点での新問ですが、戸惑うことなく、よく図を見て下さい。導体球の下に描かれたコンデンサの図記号と、問題文中の「対地間静電容量」はどんな関係にあるのでしょうか？これは物理（電気）の問題ですから、大地は無限に広がる（理想的な）導体と考えます。一方、導体球は金属等でできている球体ですから、大地と導体球の間には、静電容量が存在します。この容量のことを対地間静電容量と呼び、問題図ではＣ1やＣ2と称しているわけです。この導体球と大地で構成する容量は、電気部品としてのコンデンサの容量と、振る舞いはなんら変わりません。すなわち、導体球の対地間静電容量をＣ [F]、溜まっている電荷量をＱ [C]、導体球の大地に対する電位をＶ [V]とすれば、 Ｑ＝ＣＶ …(1) が成り立ちます。また、導体球が複数あって、それらが銅線で接続されても元々あった電荷量が保存される（電子は消えてなくならない）ことや、導線で接続された導体球同士は同じ電位になることなど、片側がGND電位に接続された（電気部品としての）コンデンサが複数あるのと、物理としては全く同じことが起こります。 ［２］電気回路（コンデンサの並列）で解く上記のことが分かれば、この問題は物理の問題というよりは、電気回路…中でもコンデンサの並列の問題だ、ということに気づかれたかもしれません。 | |
 Fig.HA0310_a 導体球をコンデンサに置換える |
となればあとは簡単で、Fig.HA0310_a左のように考えます。 Ａ，Ｂのコンデンサの各々の静電容量をＣA，ＣB [F]とし、スイッチ投入前はたまっていた電荷をそれぞれＱA1，ＱB1 [C]とします。スイッチは開かれていますから、双方の導体球の電位ＶA1，ＶB1 [V]は一般に、 ＶA1＝ＱA1/ＣA …(2) ＶB1＝ＱB1/ＣB …(3) となり、異なる値を示します。 その後、スイッチＳを閉じる（Fig.HA0310_a右）と、両コンデンサの両端の電圧（電位）ＶA2，ＶB2 [V]は、 |
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ＶA2＝ＱA2/ＣA＝ＱB2/ＣB＝ＶB2 …(4) となります。これが、問題に言う「電気的つり合いの状態」です。「つり合う」というのは、両者の電位が等しくなって、電荷が移動しない（＝電流が流れない）状態のことを言います。 また、スイッチのON/OFF前後で電荷は保存されますから、 ＱA1＋ＱB1＝ＱA2＋ＱB2 …(5) が成り立ちます。 あとは、問題に与えられている数値をこれらに代入して解けば、普通のコンデンサの問題と、全く同じにして解けてしまいます。 それでは解答に移ります。 問題の左側の導体球Ａの対地間静電容量をＣA、右側ＢのそれをＣBとし、スイッチを閉じる前のそれぞれの蓄積電荷量をＱA1，ＱB1とします。スイッチを閉じた後の導体球Ａ，Ｂの電荷量ＱA2，ＱB2を考えると、右から左に移動した電荷量をδＱとして、 ＱA2＝ＱA1＋δＱ …(a) ＱB2＝ＱB1−δＱ …(b) が成り立ちます。片方が減った分が、他方の増えた分ですから、問題ないですね。(a),(b)式を(4)式に代入します。すると、 (ＱA1＋δＱ)/ＣA＝(ＱB1−δＱ)/ＣB …(c) これを、δＱについて解いて、 (ＱA1＋δＱ)ＣB＝(ＱB1−δＱ)ＣA δＱ(ＣA＋ＣB)＝ＱB1ＣA−ＱA1ＣB ∴ δＱ＝(ＱB1ＣA−ＱA1ＣB)/(ＣA＋ＣB) ここで、ＣA＝Ｃ1＝2 [μF]，ＣB＝Ｃ2＝4 [μF]， ＱA1＝Ｑ1＝4 [μC]，ＱB1＝Ｑ2＝14 [μC]を代入すれば、 δＱ＝(14×2−4×4)/(2＋4)＝2 [μC] と求められますから、正解は５と分かります。ここでは、収束後の電圧が等しいという(4)式を使いましたが、電荷保存の(5)式を利用しても結果は同じです。 (5)式を使う場合は、（この問題では）解法がちょっと複雑になります。まず、(2),(3),(4)式をＱA1、ＱB1、ＱA2、ＱB2について解いて、全部(5)式に代入します。収束後の両コンデンサの電圧をＶ [V]すると、 ＶA1ＣA＋ＶB1ＣB＝Ｖ(ＣA＋ＣB)…(d) と表せますから、この問題で言えばＶA1ＣA＝4 [μC]、ＶB1ＣB＝14 [μC]、ＣA＝2 [μF]、ＣB＝4 [μFを代入してＶについて解けば、Ｖ＝3 [V]と求められます。 後は、例えばＡの点電荷に着目して、初期状態電荷量4 [μC]と、スイッチをONにして定常状態になった後の電荷量ＣAＶ＝2×3＝6 [μC]を比べて、2 [μC]の増加、ということが分かります。 なお、今回は問題に「電荷がＣ2からＣ1に移動して…」と移動の方向まで書かれていたので、δＱ＞０となりましたが、方向が書かれていない時は、δＱが適当な方向に移動すると決めておき、計算の結果がδＱ＜０となったら、（計算間違いでない限り）当初想定したのと逆方向に電荷が移動した、ということになります。 | |
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