| □ H19年12月期 A-05 Code:[HB0302] : RLCのそれぞれのリアクタンスから並列回路の合成インピーダンスを計算 |
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容量性（コンデンサ）、誘導性（コイル）、抵抗の３つのインピーダンスが直列、並列に組み合わされた回路の合成インピーダンスの問題で、よく出題されます。インピーダンス計算の基本だからでしょう。［１］複素数計算にチャレンジしてみよう２アマまでは実数の世界で何とか解いていましたが、１アマになったら複素数（＝実数＋虚数 の形の数）計算にチャレンジしてみて下さい。というのも、こういった直列や並列の回路の合成インピーダンスを求める時、複素数でインピーダンスを計算すると、オームの法則だけで解けてしまうからです。２アマの時のようなベクトル計算や直角三角形の１辺の長さを求める公式も（全然無縁なわけではありませんが）使いません。ただ、少しだけ面倒なのは、分数で答えが出た時に分母が複素数になってしまった時、実数部と虚数部を明確に分けるため、「通分」のような「正規化」という作業が必要になることです。でも、慣れてしまえば大して難しくはありません。 この問題では回路の要素（抵抗・コンデンサ・コイル）は３つですが、上に書いたことは、要素がいくつでも使えます。２個や４個になっても、合成抵抗の計算と同じようにやって行けば良いのです。流れる電流も、遅れ位相なのか、進み位相なのか、電流の虚数部を電圧と比較すればすぐに分かります。こんな便利な複素数を使わない手はありません。 ［２］複素数を使って解いてみるでは、具体的に見て行きましょう。回路の要素が並列、直列に３つ繋がるパターンはFig.HB0302_aの２種類です。 | |
 Fig.HB0302_a ３つのインピーダンスの並列・直列 |
これ以外のパターンもありますが、これは別途問題があるので、そこで解いています。 この図で、Ｚ1〜Ｚ3はどれが抵抗・コンデンサ・コイルであるかの組合せは全く任意です。どんな組合せでも合成インピーダンスＺは各図の下にある式で表されます。合成抵抗を計算する式と全く同じです。 Ｚ1〜Ｚ3に、抵抗なら抵抗値Ｒ [Ω]を、コイルなら誘導性インピーダンスjＸLを、コンデンサなら容量性インピーダンス−jＸCを代入します。 |
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ここで、複素数計算のミソは、Fig.HB0302_a並列回路のような、分数になる場合です。途中の計算経過では、分母が複素数になっても構いませんが、最終的に答えにする場合にはこの後に述べるように、分母に共役複素数をかけて実数にします。これを「正規化」といいます。 あとはこれに問題の数値を代入し、複素数の計算をガチャガチャとやるだけです。複素数の計算練習はここではやりませんので、慣れていない方は、同様の問題をいろいろ解いてみて下さい。 ［３］並列回路の場合はアドミッタンスで簡単に上の計算で、並列回路では大概の場合、ややこしい分数になって、間違いやすい計算を処理しなければなりません。しかし、アドミッタンスという便利なものを知っていると、簡単に計算できます。そこで、もっとスマートに計算をこなしたい方のために、この方法を試してみます。 | |
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ここでも同じように３個のインピーダンス要素（Ｚ1, Ｚ2, Ｚ3 [Ω]）が並列に電源に接続されているものとします（Fig.HB0302_b）。 今、各々の素子に、インピーダンスの逆数＝アドミッタンスＹ1, Ｙ2, Ｙ3 [S]を定義します。つまり、 Ｙ1＝1/Ｚ1 …(1) Ｙ2＝1/Ｚ2 …(2) Ｙ3＝1/Ｚ3 …(3) です。単位[S]はジーメンスと読みます。 さらに、これらの合成アドミッタンスＹを、 Ｙ＝Ｙ1＋Ｙ2＋Ｙ3 …(4) |
 Fig.HB0302_b 並列回路のアドミッタンス計算 |
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と定義します。直列回路の場合と似てきました。上で計算したような、複雑な分数式もありません。 電源電圧をＥ [V]、流れる電流（これを求めたい）をＩ [A]とすると、 Ｉ＝ＥＹ …(5) となります。複素数の計算で面倒な除算がなく、乗算だけで求められるので、並列回路の場合はこの方法が便利です。但し、(1)から(3)のアドミッタンス計算で、どれかのインピーダンスが純虚数や実数でない場合（要するにＺ1からＺ3のいずれかが複素数）は、この計算だけに複素数の除算が入ります。 それでは、解答に移ります。 （最初にインピーダンスで解き、次にアドミッタンスで解いてみます） この問題はFig.HB0302_aの左のパターンの並列の場合です。問題中の以下の値を代入します。問題文は容量性と誘導性のインピーダンスに虚数単位ｊと符号が付いていませんのでご注意下さい。 Ｚ1＝Ｒ＝25 [Ω] Ｚ2＝ＸL＝j100 [Ω] Ｚ3＝ＸC＝-j20 [Ω] と置きます。合成インピーダンスＺは、 Ｚ＝Ｚ1Ｚ2Ｚ3/(Ｚ1Ｚ2＋Ｚ2Ｚ3＋Ｚ3Ｚ1) ＝ＲＸLＸC/(ＲＸL＋ＸLＸC＋ＸCＲ) …(a) ＝{25×j100×(-j20)}/{25×j100＋j100×(-j20)＋(-j20)×25} ＝50000/(j2500＋2000−j500) ＝25/(1＋j) …(b) 電源から流れる電流Ｉは、電源電圧をＥとして、 Ｉ＝Ｅ/Ｚ＝100(1＋j)/25＝4＋j4 [A] と出るので、正解は５と分かります。 次に、アドミッタンスを使って解いてみます。 この問題は、要素のインピーダンスが全て実数（抵抗）又は純虚数（インダクタ、又はキャパシタ）ですので、簡単に求められるパターンです。まず、各々のアドミッタンスを求めます。 Ｙ1＝1/Ｚ1＝1/25＝0.04 [S] Ｙ2＝1/Ｚ2＝1/ＸL＝1/j100＝-0.01j [S] Ｙ3＝1/Ｚ3＝1/ＸC＝1/(-j20)＝0.05j [S] これらの合成アドミッタンスＹは、 Ｙ＝Ｙ1＋Ｙ2＋Ｙ3＝0.04＋0.04j＝0.04(1＋j) [S となります。電源から流れる電流Ｉ [A]は、電源電圧をＥ [V]として、 Ｉ＝ＥＹ＝100×0.04(1＋j)＝4＋j4 [A] と求められ、上の結果と比較すると、全く同じです。しかし、計算はインピーダンスでゴリゴリ解く方法よりも大変スマートです。 余談ですが、この電流は、虚数部の符号が正なので、電圧に対して進んでいることが分かります。また、電流の「絶対値」は、√(42＋42)＝4√2 [A]と求められます。 | |
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