| □ H18年08月期 A-01 Code:[HA0306] : 真空中の平行平板コンデンサの電極間に任意の厚みの誘電体を入れた時の容量計算 |
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この問題に対しては、２つの解法が考えられます。ひとつは、誘電体を真空に換算してしまう方法、もうひとつは、２つのコンデンサに分けて考える方法です。その前に、コンデンサの容量を表す公式を復習しておきます。［１］平行板コンデンサの特性最初から本質を突いてしまうと、平行板コンデンサの容量は、極板面積と誘電体の誘電率に比例し、極板間距離に反比例する…ということに尽きてしまいます。この問題は（後に述べる）上の関係を定量化した公式を知っていれば、頭の中で解けてしまいます。それではイマイチつまらないので、もう少しきちんと意味を理解してみることにします。 とりあえず始めにその「公式」とやらを復習します。極板面積をＳ [m2]、極板間距離をｄ [m]、誘電体の誘電率をε [F/m]とします。このコンデンサの静電容量Ｃ [F]は、 Ｃ＝εＳ/ｄ [F] …(1) と表されます。言葉で書くと、冒頭に青字で書いた部分の内容になります。 容量の大きなコンデンサを作りたければ、Ｓを大きくするか、ｄを小さく（誘電体を薄く）すればいいわけです。もちろん、εを大きくしても構いません。電子部品の世界では、それぞれの用途に応じてこの３つのパラメータを調整し、製品となる所望の容量のコンデンサが作られています。 御興味のある方は、村田製作所（セラミックコンデンサ）や日ケミ（電解コンデンサ）等で公開されている技術的な文書をお読みになると、コンデンサの奥深さに触れられます。 さて、本題に戻ります。極板面積が増えれば、容量が増えるのは直感的に理解しやすいですが、誘電体の厚みはどうでしょう。誘電体が厚ければ電荷がたくさん溜められそうな気もしますが、実際はそうではありません。電荷は両極板に溜まるのであって、誘電体の中に溜まるものではないからです。 誘電率はどうでしょう？ 誘電率、というのは、一言でいえば誘電体が分極（電気力線の向きに応じて原子や分子の中の電子が特定の向きに偏る現象）を起こす起こしやすさを表したものです。分極が多く起こるほど、多くの電荷が電極に集められます。つまり容量が増えます。 ［２］真空の誘電率と比誘電率何もない真空にも誘電率があって、これをε0と表します。ε0＝8.85×10-12 [F/m]です。空気などの非電離気体は、通常は誘電率がほとんどε0とみなして構いません。比誘電率とは、ある物質の誘電率εと真空の誘電率ε0の比をいいます。これをεrと書くことにすると、先の記述で、空気ではεrがほぼ１、ということです。一般には、ε＝εrε0 …(2) と書けます。ですから、平行板コンデンサの誘電体が真空の時と、比誘電率がεrの誘電体を挿入した同じ形状のコンデンサでは、容量がεr倍異なる、ということになります。 ［３］誘電体の厚みを真空の厚みに換算…解法１まず、一つ目の解法です。この方法では、厚みがｔで比誘電率がεrの誘電体は、真空という誘電率ε0の誘電体に換算すると、厚みがいくらになるか、ということを考えます。つまり、問題のコンデンサを、誘電体がすべて真空からなるコンデンサに置き換えてしまうわけです。 | |
 Fig.HA0306_a 誘電体の厚みの換算 |
比誘電率と厚みの議論は、これは比誘電率の定義そのものとも言えます。真空を誘電体とした厚さｔのコンデンサを比誘電率εrで厚さｔの誘電体Ａで満たすと、静電容量はεr倍になります。逆に、その真空コンデンサと同じ容量を誘電体Ａで実現しようとすれば、厚みは1/εrで済みます。 このことを利用して、Fig.HA0306_aのように問題のコンデンサの誘電体部分も真空に置き換えて、全体が真空と考えます。まず、誘電体部分の厚みの換算を行ないます。 |
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誘電体の厚みが電極間距離ｄ0のｐ/ｑであるとします（真空部分の厚みはｄ0(ｑ−ｐ)/ｑになります）。比誘電率はεrですから、問題のコンデンサの誘電体部分のみの厚みを真空の厚みｄ1に換算すると、 ｄ1＝(ｐｄ0)/(ｑεr) …(3) 一方、真空の層の厚さｄ2は上に書いた通り、 ｄ2＝ｄ0(ｑ−ｐ)/ｑ …(4) となります。ｄ1とｄ2とを合わせると、求めるコンデンサの真空という誘電体の厚みｄcになります。 ｄc＝ｄ1＋ｄ2＝ｄ0{ｐ/(ｑεr)＋(ｑ−ｐ)/ｑ} …(5) 求めるコンデンサの容量Ｃvは、この厚みを持った真空コンデンサと同じであることになります（Fig.HA0306_a右）。つまり、このｄcを(1)式のｄに代入してやればよく、 Ｃv＝ε0Ｓ/ｄc ＝(ε0Ｓ/ｄ0)[1/{ｐ/(ｑεr)＋(ｑ−ｐ)/ｑ}] ＝(ε0Ｓ/ｄ0)(ｑεr)/{ｐ＋(ｑ−ｐ)εr} …(6) となります。この式をよく見ると、青字の部分は厚さがｄ0で極板面積がＳの真空コンデンサの容量で、赤字の部分は、誘電体の厚みの分割割合と比誘電率で決まる係数です。一見、計算が面倒そうな式ですが、実際にが厚みの分割比率が整数比だったり、比誘電率が整数であれば、数値を入れながら計算すれば大した手間にはなりません（ここでこんな面倒な式になっているのは「一般解法」を求めたからです）。 ［４］誘電体の異なる２つのコンデンサに分離する…解法２次に２つ目の解法です。 | |
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このコンデンサをFig.HA0306_b右のように２つのコンデンサの直列接続とみなしてしまいます。本当にこんな変換できるのか？という疑問はありますが、厚さｘの平行平板コンデンサが厚さｘ/2の２つのコンデンサが直列になったものと容量が等しいかどうか計算してみて下さい。 このテクニックを使うと、この問題で真空の部分の厚さｄ0(ｑ−ｐ)/ｑのコンデンサ（容量をＣ1とする）と、εr＝ｎの誘電体の入った厚さｄ0ｐ/ｑのコンデンサ（容量をＣ2とする）の直列の合成容量を計算すればよいことが分かります。 Ｃ1とＣ2はそれぞれ、 |
 Fig.HA0306_b ２直列に分離 |
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Ｃ1＝ε0Ｓ/{ｄ0(ｑ−ｐ)/ｑ} …(7) Ｃ2＝εrε0Ｓ/(ｄ0ｐ/ｑ) …(8) となりますから、Ｃ1とＣ2の直列容量Ｃsは、 1/Ｃs＝1/Ｃ1＋1/Ｃ2 ＝{ｄ0(ｑ−ｐ)/ｑ}/(ε0Ｓ)＋(ｄ0ｐ/ｑ)/εrε0Ｓ ＝{ｄ0/(ε0Ｓ)}{(ｑ−ｐ)/ｑ＋ｐ/(ｑεr)} ∴ Ｃs＝(ε0Ｓ/ｄ0)(ｑεr)/{ｐ＋(ｑ−ｐ)εr} …(9) となります。同じ問題を２つの方法で解いただけなので当然と言えば当然ですが、(6)と(9)は全く同じ式になります。 それでは、２つの解法で、解答してみます。 最初に解法１です。極板面積をＳ＝0.002 [m2]、極板間距離をｄ0＝0.004 [m]、真空の誘電率をε0＝8.855×10-12 [F/m]、比誘電率εr＝5、さらにｐ＝1、ｑ＝2とします。まず、(5)式に各々の数値を代入してｄcを求めます。すると、 ｄc＝ｄ0(1/10＋1/2)＝3ｄ0/5 …(a) となります。真空部分の厚みがｄcであるコンデンサの容量が求める容量なので、 Ｃv＝ε0Ｓ/(3ｄ0/5) ＝8.855×10-12[F/m]×0.002[m2]/0.004[m]×(5/3)＝7.4 [pF] となりますから、正解は２と求められます。（おせっかいですが、単位の換算[cm2]→[m2]や[mm]→[m]等は間違えないようにして下さい。） 次に解法２です（(6)式と(9)式は全く同じなので、式に値を代入すること自体よりも解き方の過程に着目して下さい）。まず、極板面積をＳ＝0.002 [m2]、真空の誘電率をε0＝8.855×10-12 [F/m]として、極板間距離ｄ0が0.004 [m]の真空コンデンサの容量をＣ0とします。 Ｃ0＝ε0Ｓ/ｄ0 …(c) です。ところで、真空コンデンサの側の容量Ｃ1がＣ0の何倍になるかを考えると、真空部分の厚みが電極間隔ｄ0の半分になっているので、 Ｃ1＝2Ｃ0 …(d) とすぐに分かります。また、誘電体の入っている側のコンデンサの容量Ｃ2は、厚みが電極間隔ｄ0の半分で、かつ、比誘電率εr＝5なので、 Ｃ2＝2εrＣ0＝10Ｃ0 …(e) となることが分かります。求める直列容量Ｃsは、(d)と(e)より、 Ｃs＝1/(1/Ｃ1＋1/Ｃ2)＝1/(1/2Ｃ0＋1/10Ｃ0)＝5Ｃ0/3 …(f) となって、(c)式を(f)式に代入して、 Ｃs＝(5ε0Ｓ)/(3ｄ0) ＝8.855×10-12[F/m]×0.002[m2]/0.004[m]×(5/3)＝7.4 [pF] よってこれも正解は、２と求められます。 解法によって答えが変わることはありませんから、どちらか解きやすい方で解いてみて下さい。 | |
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