| □ H18年04月期 A-03 Code:[HB0103] : 平衡している抵抗ブリッジを含む合成抵抗の計算 |
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回路図を見ると、単純な直列や並列の合成抵抗では解けなさそうです。［１］回路図を良く見て単純な回路に変形する | |
 Fig.HB0103_a 回路を単純にする |
キルヒホッフさんにでもお出ましいただかないといけないのか…あのややこしい連立方程式、解くの面倒だな、何とか楽に済ませられる方法はないかな、計算問題苦手だし…などと思いながら、じーっと、穴のあくほど、よく回路図を見てみます。すると、Fig.HB0103_aのような形に変形できてきませんか、回路図が。子供のパズルか、最近流行りのクイズ番組のようですが、こう変形してみると、何だか簡単に解けそうな気がしてきませんか？ 複雑な回路図を見たら、何とか直列・並列の組合せにできないか、とか、慣れ親しんでいる形にできないか、とか、悩んでみることをお勧めします。 |
さて、直列の抵抗とブリッジ部分でできているのが分かったので、後は、ブリッジ部分の抵抗値が分かれば、簡単に求められます。これから書くように、この問題には簡単に解けるしくみが埋まっているのですから、出題者に感謝です。［２］ブリッジが平衡しているかどうかを見極める次に、このブリッジ回路が平衡しているかどうかを見極めます。 | |
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見極めるためには、Fig.HB0103_bにもありますが、 Ｒ1：Ｒ2＝Ｒ3：Ｒ4 …(1) つまり、 Ｒ1Ｒ4＝Ｒ2Ｒ3 …(2) が成り立っているかどうかを見ます。 Ｘ−Ｙ間に、起電力Ｅ [V]の電圧源を接続したとして、ブリッジが平衡しているときのノードＵの電位ＶUとノードＶの電位ＶV（基準はノードＹ）をそれぞれ求めると、 ＶU＝ＥＲ2/(Ｒ1＋Ｒ2) …(3) ＶV＝ＥＲ4/(Ｒ3＋Ｒ4) …(4) |
 Fig.HB0103_b 抵抗ブリッジの平衡条件 |
となります。［３］平衡時に中心の抵抗には電流が流れないここで、ノードＵとノードＶの電位ＶUとＶVの関係を調べるために、ＶU−ＶVを計算してみます。ＶU−ＶV ＝Ｅ{Ｒ2/(Ｒ1＋Ｒ2)−Ｒ4/(Ｒ3＋Ｒ4)} ＝Ｅ{Ｒ2(Ｒ3＋Ｒ4)−Ｒ4(Ｒ1＋Ｒ2)}/{(Ｒ1＋Ｒ2)(Ｒ3＋Ｒ4)} …(5) (5)式の分子のみに着目すると、 Ｅ{Ｒ2(Ｒ3＋Ｒ4)−Ｒ4(Ｒ1＋Ｒ2)} ＝Ｅ{(Ｒ2Ｒ3＋Ｒ2Ｒ4)−(Ｒ4Ｒ1＋Ｒ4Ｒ2)} ＝Ｅ(Ｒ2Ｒ3−Ｒ1Ｒ4) …(6) ここで(2)より、Ｒ1Ｒ4＝Ｒ2Ｒ3なので、(6)式の値はゼロ、つまり、 ＶU−ＶV＝０ ∴ ＶU＝ＶV となります。ノードＵとノードＶの電位差がゼロだということは、この間に何を繋いでも、例えショートしても開放にしてもＵＶ間の合成抵抗は変化しません。それならば、Ｒ5はあってもなくても合成抵抗は同じになるでしょう。ブリッジの平衡のミソはここにあります。 それでは、解答に移ります。 この問題が尋ねているのは、直列抵抗とブリッジ部の合成抵抗を合わせた抵抗値がいくらになるか、なので、まず、Ｒ5は無いことにして、Ｒ1〜4の合成抵抗を求め、それにＲ0を加えればいいわけです。 Ｒ12＝Ｒ1＋Ｒ2＝80 [Ω]， Ｒ34＝Ｒ3＋Ｒ4＝120 [Ω] と置くと、ブリッジ部の合成抵抗ＲBは以下のように求められます。 ＲB＝１/(１/Ｒ12＋１/Ｒ34)＝1/(1/80+1/120)＝48 [Ω] Ｒ0＋ＲB＝15＋48＝63 [Ω] となりますから、４が正解と分かります。 長々と解説してきましたが、ブリッジが平衡しているとわかったら、すぐに真中の抵抗を無視してかまいません。あとは合成抵抗の問題に帰着できれば、ほとんど計算も無しに解けてしまいます。 | |
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