| □ H17年08月期 A-10 Code:[HD0606] : ゲートの組合せ回路とそれと等価な別の組合せの論理回路 |
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| 2022年 |
| 12/31 12月期問題頁掲載 |
| 09/01 08月期問題頁掲載 |
| 05/14 04月期問題頁掲載 |
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 Fig.H1708A10a |
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 Fig.H1708A10b | |||||
真理値表で解いてもいいのですが、入力が３本あって、問題と選択肢を合わせて５つの回路がありますから、23×5で40通りもの状態を解かねばなりません。時間が余っている時ならまだしも、2〜3分では解けそうもないので、ここでは論理式を取ります。［１］簡単なブール代数を使おう論理式で解く前に、お断りをしておきますが、not(Ａ)は普通、Ａの文字の上に線（バー）を引きますが、HTMLで表記できないので、/Ａ（スラッシュＡ）と書きます。論理式はいろいろ法則があって、難しい印象を受けた方もおられるでしょうが、結合則や分配則といった、普通に我々が使っている数式と同じものもあります。論理式特有なもので、アマチュアレベルで出題される難しいものはほとんどありません。以下、そんなポイントをまとめてみました。 Ａ＋Ｂ 論理和…ＯＲのこと。ＡまたはＢが真の時、真となる。 Ａ＊Ｂ 論理積…ＡＮＤのこと。ＡもＢも真の時、真となる。 /Ａ 否定……ＮＯＴのこと。Ａが真なら偽、偽なら真。 上記の基本に加えて、下記のような数式を扱う上での法則があります。普通の数値の計算と同じく、乗算が優先で、カッコがあればさらにそれが優先です。 Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ …(i) （和の）交換則 Ａ＊Ｂ＝Ｂ＊Ａ …(ii) （積の）交換則 Ａ＊（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ …(iii) 分配則 Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ＝Ａ＊（Ｂ＋Ｃ） …(iv) 結合則 この他に、論理式特有の法則として、下記を挙げておきます。 /（Ａ＋Ｂ）＝/Ａ＊/Ｂ …(v) /（Ａ＊Ｂ）＝/Ａ＋/Ｂ …(vi) Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ …(vii) Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ …(viii) １＊Ａ＝Ａ ０＊Ａ＝０ １＋Ａ＝１ ０＋Ａ＝Ａ Ａ＊Ａ＝Ａ Ａ＊(/Ａ)＝０ Ａ＋Ａ＝Ａ Ａ＋(/Ａ)＝１ …(ix) | |
 Fig.HD0606_a 交換・分配則とド・モルガンの法則 | |
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(v),(vi)はANDまたはOR全体にNOTを付けるとANDとORが入れ替わって、各入力のNOTになってしまう、という不思議な法則です。ド・モルガンの法則と呼ばれます。Fig.HD0606_aに交換・分配則とドモルガンの法則を示します。 説明はしませんが、真理値表を書いてみると、確かにそうなっているので、正しいことが分かります。実際の論理回路の設計では、よく使います。 (vii),(viii)はちょっと証明めいたものが必要かもしれません。 Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ＊１＋Ａ＊Ｂ＝Ａ（１＋Ｂ）＝Ａ＊１＝Ａ …(vii) Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＊（１＋Ｂ）＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋（Ａ＊Ｂ＋/Ａ＊Ｂ） ＝Ａ＋（Ａ＋/Ａ）＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ …(viii) アンダーラインの部分が常に１になるのは、(viii)の３番目、８番目の式を使っています。(ix)はどれも自明です。 ［２］入力数が多いロジックは論理式で考えるでは、論理式を使って考えてみます。まず、問題図中のORの出力をＰとします。Ｐ＝Ｂ＊Ｃ …(1) となります。出力Ｍは、 Ｍ＝Ａ＋Ｐ …(2) となりますが、Ｐに(1)を代入して、 Ｍ＝Ａ＋Ｂ＊Ｃ …(3) となります。 それでは、解答に移ります。 選択肢の方の論理式を４つ並べてみると、 １… Ｍ＝（Ａ＊Ｂ）＊Ｃ ２… Ｍ＝（Ａ＊Ｂ）＋（Ａ＊Ｃ）＝Ａ＊（Ｂ＋Ｃ） ３… Ｍ＝（Ａ＋Ｂ）＊（Ａ＋Ｃ） ４… Ｍ＝Ａ＊（Ｂ＋Ｃ） となりますから、１，２，４はどう変形しても(3)にはならないのですが、単純に消去法で３が正解といえるでしょうか？ ちょっと形が違っていて不安ですが…ということで、選択肢３と(3)式が同じかどうか、やってみましょう。 Ｍ＝（Ａ＋Ｂ）＊（Ａ＋Ｃ）＝Ａ＊Ａ＋Ａ＊Ｃ＋Ｂ＊Ａ＋Ｂ＊Ｃ …全部展開 ＝（Ａ＋Ａ＊Ｃ）＋Ｂ＊Ａ＋Ｂ＊Ｃ＝Ａ＋Ｂ＊Ａ＋Ｂ＊Ｃ …頭の２項をまとめ ＝（Ａ＋Ａ＊Ｂ）＋Ｂ＊Ｃ …さらに頭の２項をまとめ ＝Ａ＋Ｂ＊Ｃ …(3) ここでは(ii)と何度か(vii)を使っています。ということで、やはり３が正解と分かりました。 | |
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