論理回路論理式と回路の対応ブール代数ド・モルガンの法則結合則分配則

無線工学 > １アマ > H17年04月期 > A-08
A-08	次の図は、論理式と論理回路の組合せを示したものである。このうち誤っているものを下の番号から選べ。

Fig.H1704A08a

　真理値表で解いてもいいのですが、入力が２本で、５つも回路があり、しかも回路図記号と論理式がありますから、4(2²)×5×2で40通りもの状態を解かねばなりません。ここでは論理式を取った方が速いでしょう（多分）。

［１］簡単なブール代数を使おう

　論理式で解く前に、お断りをしておきますが、not(Ａ)は普通、Ａの文字の上に線（バー）を引きますが、HTMLで表記できないので、/Ａ（スラッシュＡ）と書きます。
　論理式はいろいろ法則があって、難しい印象を受けた方もおられるでしょうが、結合則や分配則といった、普通に我々が使っている数式と同じものもあります。論理式特有なもので、アマチュアレベルで出題される難しいものはほとんどありません。以下、そんなポイントをまとめてみました。
　Ａ＋Ｂ　　　論理和…ＯＲのこと。ＡまたはＢが真の時、真となる。
　Ａ＊Ｂ　　　論理積…ＡＮＤのこと。ＡもＢも真の時、真となる。
　/Ａ　　　　否定……ＮＯＴのこと。Ａが真なら偽、偽なら真。
上記の基本に加えて、下記のような数式を扱う上での法則があります。普通の数値の計算と同じく、乗算が優先で、カッコがあればさらにそれが優先です。
　Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ　…(i)　（和の）交換則
　Ａ＊Ｂ＝Ｂ＊Ａ　…(ii)　（積の）交換則
　Ａ＊（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ　…(iii)　分配則
　Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ＝Ａ＊（Ｂ＋Ｃ）　…(iv)　結合則
この他に、論理式特有の法則として、下記を挙げておきます。
　/（Ａ＋Ｂ）＝/Ａ＊/Ｂ　…(v)
　/（Ａ＊Ｂ）＝/Ａ＋/Ｂ　…(vi)
　Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ　…(vii)
　Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ　…(viii)
　１＊Ａ＝Ａ　　０＊Ａ＝０　　１＋Ａ＝１　　０＋Ａ＝Ａ
　Ａ＊Ａ＝Ａ　　Ａ＊(/Ａ)＝０　　Ａ＋Ａ＝Ａ　　Ａ＋(/Ａ)＝１　…(ix)
(v),(vi)はANDまたはOR全体にNOTを付けるとANDとORが入れ替わって、各入力のNOTになってしまう、という不思議な法則です。ド・モルガンの法則と呼ばれます。説明はしませんが、真理値表を書いてみると、確かにそうなっているので、正しいことが分かります。実際の論理回路の設計では、よく使います。
　(vii),(viii)はちょっと証明めいたものが必要かもしれません。

　Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ＊１＋Ａ＊Ｂ＝Ａ（１＋Ｂ）＝Ａ＊１＝Ａ　…(vii)

　Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＊（１＋Ｂ）＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋（Ａ＊Ｂ＋/Ａ＊Ｂ）
　　　　　　＝Ａ＋（Ａ＋/Ａ）＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ　…(viii)

アンダーラインの部分が常に１になるのは、(viii)の３番目、８番目の式を使っています。(ix)はどれも自明です。

それでは解答に移ります。
　１…記号と論理式が一致していますから、正しいです
　２…記号と論理式が一致していますから、正しいです
　３…記号はAND、論理式はORですが、ド・モルガンの(v)式を使えば、これが正しいことが分かります
　４…記号と論理式が一致していますから、正しいです
　５…記号はORなのに論理式はANDです。これもド・モルガンか？と思いきや、この記号に従えば、Ｘ＝/Ａ＋/Ｂ＝/（Ａ＊Ｂ）でなければなりませんから、誤りです
となりますから、正解（誤った選択肢）は５と分かります。