| □ H17年04月期 A-03 Code:[HA0302] : ２個の直列コンデンサとスイッチ回路。スイッチ切替前後で電荷量保存則を用いた計算 |
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問題は２段階（SWがOFFの時とONの時）に分かれているので、ちょっと戸惑うかもしれませんが、SWがOFFの時は、コンデンサが直列の場合の電荷保存則が理解できていれば解けますし、ONの時はコンデンサ１個と電源だけの回路になることが分かれば解けてしまいます。［１］電荷量保存則とは何か？「電荷量保存則」と聞くと、「ああ、また物理の難しい法則か。もう『何とかの保存則』と聞くだけで嫌だな」と思われる方も居られるでしょう。大体、言葉が難しくていけません。法律用語みたいです。ただ、言っている内容は簡単なので、法則の名前がどうのこうのよりも、その意味するところだけを理解してしまえば、アレルギーも解消すると思います。 電荷は物理的には、負電荷＝電子が（中性状態より）多い状態、正電荷＝電子が少ない状態、なので、電子がどこかに消えたり、どこからともなく湧き出したりしない限り、最初に分かっていた電荷量はどこにどう蓄えられようが、変化しないはずです。この問題では、ここに着目します。 ［２］コンデンサの直列接続における電荷量保存 | |
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まず、SWがOFFの間は、Fig.HA0302_a左のようにコンデンサが直列の状態です。この場合、この図のＣ1の下側の電極に溜まる電荷と、Ｃ2の上側に溜まる電荷は符号が逆で量Ｑ [C]が同じです。なぜならば、ここのノードはこれらのコンデンサ以外のどこにも接続されておらず、電荷はどこにも逃げられないし、どこからも入ってこられないからです。 また、どのコンデンサも対向する電極に溜まる電荷は符号が逆で量が同じですから、この２つのコンデンサの４つの電極にはすべて同じ量Ｑ [C]の電荷が溜まっていることになります。 |
 Fig.HA0302_a SW切替前後の回路 |
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ならば、電池の電圧をＶ0 [V]、Ｃ1,Ｃ2 [F]の両端の電圧をそれぞれＶ1,Ｖ2 [V]とすると、以下の関係が成り立ちます。 Ｖ0＝Ｖ1＋Ｖ2 …(1) Ｑ＝Ｃ1Ｖ1 より Ｖ1＝Ｑ/Ｃ1 …(2) Ｑ＝Ｃ2Ｖ2 より Ｖ2＝Ｑ/Ｃ2 …(3) ここで、(2)＝(3)＝Ｑ なので、 Ｃ1Ｖ1＝Ｃ2Ｖ2 より Ｖ2＝(Ｃ1/Ｃ2)Ｖ1 …(4) となります。 ［３］スイッチON後は電源とコンデンサの一対一接続問題の回路で、スイッチONの後は、コンデンサと電源の一対一接続で、スイッチによってショートしてしまったコンデンサは無視して構いません（Fig.HA0302_a右）。また、ここまで気にしてきた「保存則」は、スイッチを入れてしまうことでショートしたコンデンサの電荷がなくなってしまうので、これまた気にする必要がなくなります。それでは、解答に移ります。 ここからは具体的な数値を入れて、答えを計算します。 まず、Ｖ0＝8 [V], Ｃ1＝Ｃ2＝4 [μF]なので、(4)より、 Ｖ2＝Ｖ1 …(a) (a)を(1)に代入して Ｖ0＝Ｖ1＋Ｖ2＝2Ｖ1 ∴ Ｖ1＝Ｖ0/2＝4 [V] Ｃ2の両端の電圧Ｖ2も4 [V]なので、蓄えられる電荷Ｑ [C]は、 Ｑ＝Ｃ2Ｖ2＝4 [μF]×4 [V]＝16 [μC] となります。SWがONの時は、Ｃ2はショートされてしまいますので、Ｃ1の両端にはＶ0(＝8 [V])がそのままかかります。つまり、回路としてはFig.HA0302_a右のようになり、Ｃ2はなくなったものと考えられます。従って、この時にＣ1に溜まる電荷Ｑ1 [C]は、 Ｑ1＝Ｃ1Ｖ0＝4 [μF]×8 [V]＝32 [μC] ということになります。従って、 Ａ…4 [V] Ｂ…16 [μC] Ｃ…32 [μC] となりますから、正解は２と分かります。 回路設計に慣れている方なら、こんな面倒な計算をしなくても、この問題の場合、Ｃ1とＣ2は容量が同じですから、かかる電圧もＶ0の半分で同じ4 [V]と暗算で出ます。 ここからは余談ですが… (2),(3)式を(1)式に代入すると、 Ｖ0＝Ｑ(1/Ｃ1＋1/Ｃ2) …(b) となります。Ｃ1とＣ2の合成容量をＣとすると、 Ｑ＝ＣＶ0 より Ｖ0＝Ｑ/Ｃ …(c) となるので、(b)と(c)を見比べると、コンデンサの直列容量を計算するおなじみの公式 1/Ｃ＝1/Ｃ1＋1/Ｃ2 …(d) ∴ Ｃ＝Ｃ1Ｃ2/(Ｃ1＋Ｃ2) …(e) が出てきます。 | |
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