並列共振回路共振周波数回路のQ 自己インダクタンス誘導性容量性

無線工学 > １アマ > H16年12月期 > A-04
A-04	図に示すＲＬＣ並列回路の共振周波数が3.5 [MHz]のとき、回路のＱの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、抵抗Ｒは4.7 [kΩ] 及びコイルＬの自己インダクタンスは42 [μH] とする。

１	0.2
２	2.0
３	5.1
４	19.6
５	32.0

Fig.H1612A04a

この問題で問われているのは、コイルに抵抗分のない理想状態の並列共振回路のＱです。出題数としては、コイルに直流抵抗がある場合のものが多いのですが、これはそのような問題ではなく、教科書にも損失のないコイルと並列に抵抗が入った共振回路のＱは出ていないものがほとんどです。現実にはこういう回路を組むことはあまりないからではないでしょうか？　それだけに、「そもそも共振回路とは？」「Ｑとは？」という原理的なことが分かっていなければ公式丸暗記では解けない問題です。そんなわけで、まずコイルに損失のない回路モデルで「共振とは何か」を考えた後、問題の回路にかかりましょう。第１部　共振回路を学ぶ前に［１］『共振』を学べば高周波回路が分かる　高周波回路、ことに無線に関係する回路の動作や無線機・アンテナの調整にいたるまで、この「共振」という現象と「回路のＱ」という言葉抜きにしては語れません。長くなりますが、「そもそも回路が共振するというのは（物理現象として）どういうことか」ということから始めます。これを理解していれば、フィルタ回路や、送受信機の回路動作など、他のジャンルの問題を解くことが可能になります。［２］基本的事項の確認…直列と並列共振回路と表記　まず基本的な事柄の確認です。回路の共振には、Fig.HB0403_a左のような直列共振と、その右のような並列共振があります。無線の回路で多く見られるのは並列共振回路の方です。
Fig.HB0403_a 直列・並列共振回路	この後必要になるポイントですから、ここでよくこの両者を見比べてみて欲しいのですが、「直列」の方はＬＣＲ三素子に共通なのは流れている電流です。途中で電子が増えたり減ったりはしませんから、これは明らかです。一方、並列の方では三素子にかかる電圧が共通です。これも、３つとも同じ電源に繋がれているので当然といえば当然です。　以下の図では、交流回路ですから、電流・電圧をベクトルで表記します。この方法に慣れていない方は、是非ともベクトル表記に慣れて下さい。
私も高校生時代に「交流理論」なる本を借りて読んだ時は、ワケが分からず瞬間睡眠したものですが、今になってこんな便利なものがあるのか、と思います。　余談はさておき、「直列共振回路では、各素子に流れている電流は同じだが、素子の両端に生じている電圧は各々大きさも向き（ここで言う「向き」は電圧ベクトルの向きなので、実は位相のこと）も違う」「並列共振回路では、各素子にかかる電圧は同じだが、素子に流れる電流は各々大きさも向きも違う」ということを頭に入れて下さい。　電源電圧や電流、各素子にかかる電圧や流れる電流をFig.HB0403_aのように取ります。図の中の斜体文字の電圧や電流はベクトル量であることを示します。文章の中では基本的にはすべてベクトル量（複素数）とします。第２部　直列共振回路について［１］回路のインピーダンスと共振周波数　Fig.HB0403_a左の直列共振回路の合成インピーダンスＺ_sを考えます。直列ですから単純にＲＣＬ各素子のリアクタンスをＸ_R＝Ｒ，Ｘ_C＝－1/(ωＣ)，Ｘ_L＝ωＬとして足せばよいので、　Ｚ_s＝Ｘ_R＋j（Ｘ_C＋Ｘ_L）　　＝Ｒ＋j(ωＬ－1/ωＣ)　…(1) となります。共振周波数を求めるには、Ｚ_sの大きさが最小になればよく、虚数部分（青字の部分）＝０と置いて、共振周波数ｆ_Rを求めれば、よく知られた　ｆ_R＝1/{2π√(ＬＣ)}　…(2) が出ます。ところで、さらりと「虚数部分をゼロにすればいい」と書いてしまいましたが、これは非常に深い意味を持ちます。この後も何度か出てきますから、意味を理解して下さい。　「インピーダンスの虚数部分をゼロにする」ということの意味は、電源にそのインピーダンスを負荷として接続した時、電圧の位相と電流の位相がずれないようにできる、ということを意味します。相手が抵抗だけであれば位相はずれませんが、インダクタンス分やキャパシタンス分が含まれると、電圧に対して電流が遅れたり進んだりします。つまり、「共振させる」ということは、インダクタンス分とキャパシタンス分が逆符号で打ち消しあうような回路の状態にする、ということを意味します。　一方、電源電圧Ｅは、（共振していようがいまいが）全ての素子の両端に生じた電圧の（ベクトル的な）和ですから、　Ｖ_R＝ＩＲ　　　Ｖ_C＝－jＩ/ωＣ　　　Ｖ_L＝jωＩＬと置いて、　Ｅ＝ＩＺ_s＝Ｉ{Ｒ－j/(ωＣ)＋jωＬ} 　　＝Ｖ_R＋Ｖ_C＋Ｖ_L　…(3) と表せます。共振した時は、(3)式の中にｊの項（青字の項）がゼロになってしまう、ということです。［２］電源周波数と回路の動作　下のFig.HB0403_bを見ながら考えて行きましょう。
Fig.HB0403_b 直列共振回路と電源周波数
(1)電源周波数が共振周波数より低い時　まず、電源周波数ω（＝2πｆ）が共振周波数ω_R（＝2πｆ_R）より低い時は、容量性リアクタンスＸ_C（＝1/ωＣ）と誘導性リアクタンスＸ_L（＝ωＬ）を比べると、Ｘ_C＞Ｘ_Lとなっています。要するに、周波数が低いので、コンデンサのリアクタンスよりコイルのリアクタンスの方が小さいのです。ここで、前の方で挙げた、「直列回路では流れる電流が全素子に共通」ということを思い出して下さい。電流Ｉが共通ですから、リアクタンスの大きい方、すなわちコンデンサの両端の電圧の方がコイルのそれより大きくなります。　この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b左のようになります。Ｖ_LとＶ_Cは、向きが互いに逆で、その大きさを比べると、Ｖ_L＜Ｖ_Cです。電源電圧ベクトルＥは、(3)式で表されますから、この図で行くと水平線（抵抗両端電圧Ｖ_Rや電流Ｉの向き）より下に来ます。つまり、電源電圧Ｅを基準にすると電流Ｉは（位相が）進んでいるという状態になります。（ちなみに、抵抗の両端の電圧Ｖ_Rと電流Ｉの位相は同じです。）このような状態を、回路のリアクタンスは容量性であるといいます。式で言うと、(1)式のｊの係数が負、ということになり、電源から見ると、キャパシタンス分が多く見える、ということです。 (2) 電源周波数が共振周波数より高い時　上とは全く逆の理由で、Ｘ_C＜Ｘ_Lとなります。今度は、周波数が高いので、コイルのリアクタンスよりコンデンサのリアクタンスの方が低いのです。また、コイルの両端の電圧の方がコンデンサのそれより大きくなります。この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b右のようになります。Ｖ_L＞Ｖ_Cです。電源電圧ベクトルＥは、水平線より上に来ます。つまり、電源電圧Ｅを基準にすると電流Ｉは遅れているという状態になります。このような状態を、回路のリアクタンスは誘導性であるといいます。式で言うと、(1)式のｊの係数が正、ということになり、電源から見ると、インダクタンス分が多く見える、ということです。 (3) 電源周波数が共振周波数と等しい時　この状態が「共振状態」です。容量性リアクタンスと誘導性リアクタンスは、Ｘ_C＝Ｘ_Lの状態で、コンデンサの両端の電圧とコイルのそれが大きさが等しくなります。　この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b中のようになります。Ｖ_LとＶ_Cは、向きが互いに逆で、大きさが等しいので、ベクトルの和では零となり、合成後のベクトル中には図の垂直方向の成分は現れてきません。すなわち、回路は誘導性でも容量性でもなくなり、式で言うと、(1)式のｊの係数が０、ということになって、電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える、ということです。　この時、回路で起こっている物理的な現象は何か、というと、コンデンサやコイルはそれぞれ電界（電気力線）や磁場（磁力線）、という形でエネルギーを蓄える装置ですが、これらは互いに振動する逆方向の電圧（電流は共通）に応じてエネルギーをやり取りしています。「電圧が最大の時に最大のエネルギーを蓄えるコンデンサ」と、「電流が最大の時に最大のエネルギーを蓄えるコイル」が、互いに180°ずれた電圧を振動させながらエネルギーをやり取りしているわけです。この振動数は容量とインダクタンスで決まります。共振状態では、この２個の素子の持つ固有の振動数と電源周波数がぴったり合うため、外（電源）から見ると同じ大きさで逆向きの電圧が合成された結果、見えなく（0 [V]）なり、抵抗分だけが残るというわけです。　従って、回路全体のインピーダンスは最小になりますから、電流Ｉの大きさは最大となります。（このあたりのことは、この後の「回路のＱ」でご説明します。）第３部　並列共振回路について［１］回路のインピーダンスと共振周波数　これもFig.HB0403_a右の回路を元に合成インピーダンスＺ_pから考えて行きます。　並列ですからアドミッタンス（インピーダンスの逆数）で考えた方が分かりやすいですね。合成アドミッタンスＹ_pは、ＲＣＬ各素子のリアクタンスをＸ_R＝Ｒ，Ｘ_C＝－1/(ωＣ)，Ｘ_L＝ωＬとして、　Ｙ_p＝1/Ｚ_p 　　＝(jＸ_RＸ_L＋Ｘ_LＸ_C＋jＸ_CＸ_R)/(Ｘ_RＸ_LＸ_C) 　　＝1/Ｒ＋j{ωＣ－1/(ωＬ)}　…(4) 　∴　Ｚ_p＝[1/Ｒ＋j{1/(ωＬ)－ωＣ}]/[(1/Ｒ)²＋{ωＣ－1/(ωＬ)}²]　…(5) 共振周波数を求めるには、Ｙ_pの大きさが最小になればよく、(4)式の虚数部分（青字の部分）＝０と置く方法は直列共振の時と同じ手法です。その結果、共振周波数ｆ_Rを求めれば、直列共振の時と全く同じ方程式になり、　ｆ_R＝1/{2π√(ＬＣ)}　…(2) が出ます。また、電源電流Ｉは、共振しているか否かに関わらず、全ての素子に流れる電流の（ベクトル的な）和ですから、　Ｉ_R＝Ｅ/Ｒ　　　Ｉ_C＝jωＣＥ　　　Ｉ_L＝Ｅ/jωＬと置いて、　Ｉ＝Ｅ/Ｚ_s＝ＥＹ_p＝Ｅ[1/Ｒ＋j{ωＣ－1/(ωＬ)}]　…(6) 　　＝Ｉ_R＋Ｉ_C＋Ｉ_L　…(7) と表せます。ここでも、着目すべきは、共振時は虚数部分（青字の部分）がゼロになることです。ここまで見てくると、直列共振も並列共振も、本質は変わらない、ということにお気づきかと思います。［２］電源周波数と回路の動作　下のFig.HB0403_cを見ながら考えて行きましょう。
Fig.HB0403_c 並列共振回路と電源周波数
(1) 電源周波数が共振周波数より低い時　まず、電源周波数ω（＝2πｆ）が共振周波数ω_R（＝2πｆ_R）より低い時は、容量性リアクタンスＸ_Cと誘導性リアクタンスＸ_Lを比べると、Ｘ_C＞Ｘ_Lとなっています。周波数が低いので、コンデンサのリアクタンスよりコイルのリアクタンスの方が小さいのです。ここまでは直列共振の時と全く同じです。ここで、前の方で挙げた、「並列回路では全素子にかかる電圧が共通」ということを思い出して下さい。電圧Ｅが共通ですから、リアクタンスが小さい方、すなわちコイルに流れる電流の方がコンデンサのそれより大きくなります。　この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c左のようになります。Ｉ_LとＩ_Cは、向きが互いに逆で、その大きさを比べると、Ｉ_L＞Ｉ_Cです。電源電流ベクトルＩは、(7)式で表されますから、この図で行くと水平線（抵抗の電流Ｉ_Rや電源電圧Ｅの向き）より下に来ます。つまり、電源電圧Ｅを基準にすると電流Ｉは（位相が）遅れているという状態になります。ですから、回路のリアクタンスは誘導性となっています。式で言うと、(5)式の分子のｊの係数が正、ということになり、電源から見ると、インダクタンス分が多く見える、ということです。 (2) 電源周波数が共振周波数より高い時　上とは全く逆の理由で、Ｘ_C＜Ｘ_Lとなります。今度は、周波数が高いので、コイルのリアクタンスよりコンデンサのリアクタンスの方が小さいのです。また、コイルに流れる電流の方がコンデンサのそれより大きくなります。この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c右のようになります。Ｉ_L＜Ｉ_Cです。電源電流ベクトルＩは、水平線より上に来ます。つまり、電源電圧Ｅを基準にすると電流Ｉは進んでいる状態になります。これは、回路のリアクタンスは容量性であるということになります。式で言うと、(5)式のｊの係数が負、ということになり、電源から見ると、キャパシタンス分が多く見える、ということです。 (3) 電源周波数が共振周波数と等しい時　共振状態では、容量性リアクタンスと誘導性リアクタンスは、Ｘ_C＝Ｘ_Lの状態で、コンデンサに流れる電流とコイルのそれが大きさが等しくなります。　この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c中のようになります。Ｉ_LとＩ_Cは、向きが互いに逆で、大きさが等しいので、ベクトルの和では零となり、合成後のベクトル中には図の垂直方向の成分は現れてきません。すなわち、回路は誘導性でも容量性でもなくなり、式で言うと、(5)式のｊの係数が０、ということになって、電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える、ということです。　この時、回路で起こっている物理的な現象は何か、というと、コンデンサやコイルは互いに振動する逆方向（方向はFig.HB0403_a右のような方向を正とする向き）の電流に応じてエネルギーをやり取りしています。ちょうどシーソーのように、コンデンサとコイルの間を電流が行ったり来たりしているイメージです。この振動数は容量とインダクタンスで決まります。共振状態では、この２個の素子の持つ固有の振動数と電源周波数（位相も）がぴったり合うため、外（電源）から見ると、もし抵抗がなければ電流が全く入れず、あたかもコイルとコンデンサは両方とも無く（インピーダンス＝∞）、抵抗しかないように見える、というわけです。　従って、回路全体のインピーダンスは最大（Ｒのみ）になりますから、電流Ｉの大きさは最小となります。（これもまた、この後の「回路のＱ」でご説明します。）第４部　共振回路と回路のＱ　共振回路といえば、必ずと言っていいほど問われるのが回路のＱです。そもそも、Ｑって何？というところから始めたいと思います。　私自身理解の不足なところでもありますが、端的に言ってしまえば「共振回路のＬ（コイル）分にどれだけ損失が少ないか」という指標です。この指標が大きいほど、共振回路としては理想的な動作に近づくわけです。ここで言う「損失」とは電流が熱になること、すなわち抵抗分です。先にコイルの損失、と書きましたが、実際にはＣ（コンデンサ）にも実装基板のパターンにも抵抗があるのですが、線が長く巻いてあるコイルが、最も抵抗分の多い素子なので、他は無視するケースが多いです。　ではまず、直列共振回路のＱから。
［１］直列共振回路の端子電圧とＱ　直列共振回路が共振している時は、Fig.HB0403_bの真中のベクトル図や等式不等式が成り立っています。式だけではよく分からないので、箇条書きで要約すれば、　(1) コイルとコンデンサの両端の電圧は、大きさが同じで極性が逆　(2) 電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える　(3) 電流Ｉは電源電圧Ｅと同位相で、共振していない時に比べ最大値をとるということです。ならば、コイルとコンデンサの両端の電圧と、抵抗の両端の電圧はどういう関係になっているのでしょうか？　抵抗の両端に生じる電圧の大きさはＲＩ [V]、コイルの両端に生じる電圧の大きさは、ＩＸ_L＝ωＬＩ [V]です。ちなみに、コンデンサの両端に生じる電圧の大きさもＩＸ_C＝Ｉ/ωＣ [V]でコイルの電圧と同じです。ここで、両者（抵抗とコイル）の比率を取って、　Ｑ＝ωＬＩ/ＲＩ＝ωＬ/Ｒ　…(8) という値を定義してしまいましょう。要するに、Ｑは抵抗の両端の何倍の電圧がコイル（またはコンデンサ）の両端に生じているかという値だというわけです。ちなみに、抵抗両端の電圧Ｖ_Rは電源電圧Ｅと位相も大きさも同じです。　実際のコイルとコンデンサのみ（抵抗がない）からなる直列共振回路では、Ｑが数10～数100程度です。ということは、電源電圧が数[V]でも、コンデンサやコイルの両端には数100 [V]が発生する、ということですので、これだけの耐圧がないと絶縁破壊を起こします。バッテリー駆動のモービル機であっても、高周波出力回路の充電部に触れると危険だ、というのはこのあたりの原理に起因します。［２］並列共振回路の素子電流とＱ　Ｌ・Ｃが理想的素子で、並列に抵抗が入っている場合の並列共振回路のＱは、分かりにくいです。普通はコイルに抵抗分がある場合が出ているのみで、私も教科書を読まないと分かりませんでした。
まず、「並列回路」ですから、ＲＬＣそれぞれにかかる電圧は共通なので、それぞれに流れる電流に着目します。右図のように、周波数ｆ [Hz]の交流電源（起電力Ｅ [V]）から流れ込む電流をＩ [A]、Ｒ，Ｌ，Ｃ各々に流れ込む電流をＩ_R [A]，Ｉ_L [A]，Ｉ_C [A]とします。　問題には，Ｃの容量が書かれていないことがあります。Ｃの容量がわからないとＱが求められないのでは、と一瞬思います。　回路は共振していますから、Ｃを求めようと思えばできます。しかし、ここでは求める必要はありません。理由は以下に説明します。	Fig.HB0403_d 抵抗のある並列共振回路
理想的なＬとＣのみからなる並列共振回路が共振している時は、Ｉ_LとＩ_Cは大きさが同じで位相が逆の電流で、ＬやＣには電源からは電流が流れ込みません。　これに並列に抵抗Ｒが繋がった回路ですから、共振時は電源からの電流は抵抗のみに流れます。すなわち、　Ｉ＝Ｉ_R＝Ｅ/Ｒ　…(7) です。一方、ＬやＣには電流が流れていないわけではなく、ＬやＣの両端に電源と同じ位相で電圧を発生させる、下の式の大きさの「振動電流」　Ｉ_L＝Ｅ/(ωＬ)　…(8) が流れています。コイルに抵抗がない場合の並列回路のＱの定義は、「共振時にＬ（またはＣ）に流れる振動電流と抵抗に流れる電流の比」ですから、Ｌに流れる電流が分かればいいわけです。（問題では、Ｃの容量が出ていませんが、振動電流を求めるには不要なので、計算する必要はありません。）　Ｑを求めるには、Ｉ_LとＩ_Rの比を取ればよいので、　Ｑ＝Ｉ_L/Ｉ_R 　　＝[Ｅ/(ωＬ)]/(Ｅ/Ｒ) 　　＝Ｒ/(ωＬ)　…(9) となります。　この式は見慣れた式と比べて何か変ですね。普通、直列共振回路や抵抗分を持つコイルを使った並列共振回路では、Ｑ＝ωＬ/Ｒですから、分子と分母が逆です。しかし、Ｑが「回路の良さ（損失の少なさ）」を表す指標だと考えれば、抵抗が大きければ大きいほど、ＬＣに流れる電流よりも「無駄に」抵抗に流れて熱になってしまう電流が少なくなるわけですから、(9)式でＱが大きくなるのも理解できます。　こうして見てくると、Ｑの定義式でＲが分母に来るか分子に来るかは、抵抗分がコイル（厳密にはコンデンサや配線にもありますが）に直列に入っているか否かで異なる、ということです。定性的な理解では、ＬやＣに直列に損失となるＲが入っている時は、共振電流を直接妨げるのでＲは小さい方がよく、ＬやＣが理想的で、それにＲが並列に入っている時は、直接には共振電流を損失させないが、電源から「ムダ電流」をＲに流すことになるので、値は大きい方がいい、ということになります。それでは、解答に移ります。　(9)式に題意の数値を代入して計算すれば、Ｑ＝5.1となりますから、正解は３と分かります。