| □ H15年12月期 A-19 Code:[HH0303] : 100%変調のAM送信機でインピーダンス既知の同軸ケーブルにかかる電圧の計算 |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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この問題は、給電線の問題というよりはAM変調度と変調波の振幅の問題といった方がいいものです。変調度と振幅の関係の復習から入ります。また、この問題には落とし穴があります。私がハマっただけかも知れませんが…。その説明もしてみます。［１］AM変調度と出力電圧振幅の関係 （よく出るので参考）AM変調の実時間波形と変調度ｍの関係は、Fig.HH0303_aの右のようになります。変調波振幅のピーク値をａ、最小値をｂとすると、変調度ｍは、 | |
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ｍ＝(ａ−ｂ）/(ａ＋ｂ） …(1) と表せます。また、搬送波の電圧（最大値）をＥc、信号波の電圧（最大値）をＥsとすると、変調度ｍは ｍ＝Ｅs/Ｅc …(2) とも表せます。実は、この問題で使うのはこの式だけです。 これらの式の他、AM変調には変調度と電力の関係式もあります。搬送波の出力、すなわち無変調時の出力をＰcとすると、変調度がｍの時の側波帯の電力をＰL（下側）とＰU（上側）は、 ＰL＝ＰU＝(ｍ2/4)Ｐc …(3) |
 Fig.HH0303_a AM変調波の変調率と電力 |
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となります。従って全出力ＰTは、搬送波電力と両側波帯の電力の和ですから、 ＰT＝Ｐc＋ＰL＋ＰU＝(１＋ｍ2/２)Ｐc …(4) となります。 この関係はこの問題を解くのには直接関係はありませんが、AM変調で出題されるかもしれませんので、載せておきました。また、後で「私のやった大間違い」のところでの説明に使用します。 ［２］伝送電力とケーブル内の電圧ここでは、ケーブルと負荷は整合が取れている場合について聞かれているので、考慮に入れる必要はありませんが、普通は厳密に整合が取れていないことの方が多いでしょう。整合が取れている場合は、(1)式又は(2)式とオームの法則だけで解けます。まず、同軸ケーブルにかかる搬送波のみの電圧Ｅc（最大値）を求めます。搬送波電力Ｐcは、Ｐc＝(Ｅc/√2)2/Ｚ0 …(5) ですから、これをＥcについて解いて、 Ｅc＝√(2ＰcＺ0) …(6) 次に、変調度がｍの時は、最大電圧Ｅmaxは(2)式より、 Ｅmax＝Ｅc＋Ｅs＝Ｅc＋ｍＥc ＝Ｅc(１＋ｍ) …(7) と表されます。この式に、(6)式から求められるＥcを代入すると、 Ｅmax＝(１＋ｍ)√(2ＰcＺ0) …(8) となるので、問題に与えられた各々の数値を代入すればＥmaxが求められます。注意すべきなのは、問題中の電圧が、最大値（信号振幅）で書かれているのか、実効値で書かれているのか、という点です。引っ掛からないようにして下さい。 ［３］私のやった大間違い自分の実力を思い知らされる「事件」でした。これは、このページを作成している時のことです。以下に書くことは、私のやらかした大間違いですので、絶対に真似をしないで下さい。変調度がｍで、搬送波出力がＰcのAM波の出力電力ＰTが、(4)式で表されることは説明しました。ならば、この電力がＺ0の純抵抗に加わったら、その抵抗の両端の電圧がいくらになるか、を計算すればケーブルにかかる最大電圧Ｅmaxが出るじゃないか、と考えたわけです。これが大間違いなのですが、その理由は後で説明します。 ＰT＝(Ｅmax/√2)2/Ｚ0 …(9) なので、これをＥmaxについて解いて、 Ｅmax＝√(2ＰTＺ0) …(10) これに(4)式を代入して、 Ｅmax＝√[2(１＋ｍ2/2)ＰcＺ0] …(11) あとは各数値を代入するだけ…というわけなのですが、(8)式と(11)式は似ているようで違います。問題は、どこで考え違いをしているか、です。 正解の方は、単に搬送波振幅と信号波振幅を加えたものから、最大電圧を求めています。一方、「誤解」の方は電力から「実効値」を求め、それを√２倍しています。この考え方は、ＰTという「正弦波」電力がＺ0に消費されている、という前提の下に成り立ちますが、このAM変調波が「正弦波」だと考えたところに誤りがあります。 つまり、AM変調波は「正弦波」ではなく、「ひずみ波」なので、電力とインピーダンスの積の√が振幅に比例する、という関係が成り立たないのです。周波数ｆcの搬送波を周波数ｆsの信号波（正弦波）で変調することを考えても、変調されて出てきた信号波、どう見ても正弦波ではありません。便利なオームの法則ですが、交流に適用する場合は、その元となる波形が正弦波なのかどうかに注意を払わないと、大間違いを犯してしまう、という悪例でした。 それでは、解答に移ります。 (8)式に、Ｐc＝400 [W], Ｚ0＝50 [Ω], ｍ＝1 (100%)を代入すれば、 Ｅmax＝2√（2×400×50）＝400 [V] となりますので、正解は５と分かります。 | |
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