□ H15年12月期 A-03  Code:[HA0307] : 3個以上のコンデンサの合成容量・最大耐電圧・未知の静電容量等の計算
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	この問題では、「直列接続のコンデンサの各電極に蓄えられる電荷は等しい」、という物理が解法のキーになります。容量がすべて同じ場合以外は、耐圧100 [V]のコンデンサが3つ直列なんだから、300 [V]だろう、というのは間違いです。 ［１］直列接続のコンデンサの各電極に蓄えられる電荷は等しい 　各コンデンサの容量やかかる電圧をFig.HA0307_cのように置きます。 　直列接続のコンデンサの各電極に蓄えられる電荷は等しいので、Ｑと置きます。 　なお、電荷が等しい理由の「証明」は簡単で、例えば、Fig.HA0307_cで、Ｃ1の電源側の電極に＋Ｑの電荷が溜まったとすると、その対向する電極には−Ｑが溜まります。またＣ2の左側の電極には、＋Ｑが溜まります。このノードは他にどこにも繋がっていないので、電子が勝手に消えたり湧いて出たりしない限り、一方に＋Ｑがあれば他方には−Ｑがあって、合計がゼロになるはずだからです。Ｃ3についても同様です。 Fig.HA0307_c 直列コンデンサの電圧 ［２］最小容量のコンデンサに最高電圧がかかる 　ここで仮に、最も容量が小さいコンデンサがＣ1であるとして、これに最大電圧Ｅ1maxがかかっている時に、他のコンデンサにどれだけの電圧がかかっているかを計算します。まず、このときに各コンデンサに蓄えられる電荷Ｑを計算します。 　Ｑ＝Ｅ1maxＣ1　…(1) これと同じ電荷がＣ2, Ｃ3についても溜まりますから、これらの両端にかかる電圧をそれぞれ、Ｅ2, Ｅ3とすれば、 　Ｑ＝Ｅ2Ｃ2　…(2) 　Ｑ＝Ｅ3Ｃ3　…(3) (1)と(2)、(1)と(3)からそれぞれＱを消去すれば、 　Ｅ1maxＣ1＝Ｅ2Ｃ2 　∴　Ｅ2＝(Ｃ1/Ｃ2)Ｅ1max　…(4) 　Ｅ1maxＣ1＝Ｅ3Ｃ3 　∴　Ｅ3＝(Ｃ1/Ｃ3)Ｅ1max　…(5) となります。 　上記の結果を吟味してみます。Ｃ1が3つの中で最小容量のコンデンサなので、(4),(5)式の中で、Ｃ1/Ｃ2＜1でかつ、Ｃ1/Ｃ3＜1です。つまり、Ｅ2＜Ｅ1maxでかつ、Ｅ3＜Ｅ1maxということ、すなわち最も小さな容量のコンデンサに最大電圧がかかるので、複数の耐圧が同じコンデンサを直列につないで耐圧を稼ぎたい時、全体の耐電圧を決めているのは最小容量のコンデンサだ、ということです。 　ここまで分かれば、全体の耐電圧Ｅmaxは下記のようにして求められるのが分かります。 　Ｅmax＝Ｅ1max＋Ｅ2＋Ｅ3＝Ｅ1max(1＋Ｃ1/Ｃ2＋Ｃ1/Ｃ3)　…(6) 　余談ですが、この問題のように、容量の異なるコンデンサを直列に接続すると、最も容量の少ないコンデンサに電圧が集中します。このことは逆に、同じ容量を接続したつもりでも（コンデンサは一般に抵抗に比べて誤差が大きいので）、容量の少ないものの両端の電圧が高くなってしまうことがある、ということです。 　セラミックコンデンサの中には+20%/-80%なんていう誤差のものもありますから、たとえ耐圧50 [V]だからといってこれを直列にして80 [V]かけたら、絶縁破壊するものも出てくる可能性がある、ということです。 　耐圧を稼ぐために複数のコンデンサを直列にする時は、容量誤差に注意する必要があります。 それでは、解答に移ります。 　題意の数字、Ｅ1max=100 [V], Ｃ1=10 [μF], Ｃ2=20 [μF], Ｃ3=50 [μF] をそれぞれ(6)式に代入すれば、 　Ｅmax＝100×(1＋10/20＋10/50)＝170 [V] となりますので、正解は２と分かります。
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