| □ H13年12月期 A-09 Code:[HD0605] : NOT AND OR等の組合せ回路と真理値表の対応 |
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 Fig.H1312A09a | |||||
 Fig.H1312A09b | |||||
少し複雑な論理回路で、これを頭の中で計算しようと思っても、途中どこかで間違えてしまいがちですから、地味な解き方ですが、真理値表を作るのが確実でしょう。慣れてきたら、論理式で解くこともできます。ここでは、両方で試してみました。［１］各ノードについて、真理値表で解析してみようまず、問題の回路図の各ノードについて名前を付けます。ここでは、ANDの出力をＰ、ORの出力をＱ、NOTの出力をＲと付けました。 | |
 Fig.HD0605_a 問題の回路と真理値表 | |
これらについて、入力の４通りの組合せとＰ〜Ｒ、Ｍの論理を合わせた表が、Fig.HD0605_aの右になります。時間はかかりますが、一つ一つ丹念に埋めてゆけば、間違いなく正解にたどり着けます。［２］論理式で解いてみよう論理式で解く前に、お断りをしておきますが、not(Ａ)は普通、Ａの文字の上に線（バー）を引きますが、HTMLで表記できないので、/Ａ（スラッシュＡ）と書きます。論理式はいろいろ法則があって、難しい印象を受けた方もおられるでしょうが、結合則や分配則といった、普通に我々が使っている数式と同じものもあります。論理式特有なもので、アマチュアレベルで出題される難しいものはほとんどありません。以下、そんなポイントをまとめてみました。 Ａ＋Ｂ 論理和…ＯＲのこと。ＡまたはＢが真の時、真となる。 Ａ＊Ｂ 論理積…ＡＮＤのこと。ＡもＢも真の時、真となる。 /Ａ 否定……ＮＯＴのこと。Ａが真なら偽、偽なら真。 上記の基本に加えて、下記のような数式を扱う上での法則があります。普通の数値の計算と同じく、乗算が優先で、カッコがあればさらにそれが優先です。 Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ …(i) （和の）交換則 Ａ＊Ｂ＝Ｂ＊Ａ …(ii) （積の）交換則 Ａ＊（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ …(iii) 分配則 Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ＝Ａ＊（Ｂ＋Ｃ） …(iv) 結合則 この他に、論理式特有の法則として、下記を挙げておきます。 /（Ａ＋Ｂ）＝/Ａ＊/Ｂ …(v) /（Ａ＊Ｂ）＝/Ａ＋/Ｂ …(vi) Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ …(vii) Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ …(viii) １＊Ａ＝Ａ ０＊Ａ＝０ １＋Ａ＝１ ０＋Ａ＝Ａ Ａ＊Ａ＝Ａ Ａ＊(/Ａ)＝０ Ａ＋Ａ＝Ａ Ａ＋(/Ａ)＝１ …(ix) (v),(vi)はANDまたはOR全体にNOTを付けるとANDとORが入れ替わって、各入力のNOTになってしまう、という不思議な法則です。ド・モルガンの法則と呼ばれます。説明はしませんが、真理値表を書いてみると、確かにそうなっているので、正しいことが分かります。実際の論理回路の設計では、よく使います。 (vii),(viii)はちょっと証明めいたものが必要かもしれません。 Ａ＋Ａ＊Ｂ＝Ａ＊１＋Ａ＊Ｂ＝Ａ（１＋Ｂ）＝Ａ＊１＝Ａ …(vii) Ａ＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＊（１＋Ｂ）＋/Ａ＊Ｂ＝Ａ＋（Ａ＊Ｂ＋/Ａ＊Ｂ） ＝Ａ＋（Ａ＋/Ａ）＊Ｂ＝Ａ＋Ｂ …(viii) アンダーラインの部分が常に１になるのは、(viii)の３番目、８番目の式を使っています。(ix)はどれも自明です。 それでは、解答に移ります。この問題は２つの方法で解いてみます。 まずは真理値表です。この回路の真理値表はFig.HD0605_bの右のようになります。選択肢の中からＭの欄を見比べて４が正解と分かります（問題図とFig.HD0605_bの表の「０」「１」の並び方が違うので、注意して下さい）。 次に論理式で解いてみます。Fig.HD0605_aの中ほどにもあるように、 Ｐ＝Ａ＊Ｂ …(a) Ｑ＝Ａ＋Ｂ …(b) Ｒ＝/Ｑ …(c) Ｍ＝Ｐ＋Ｒ＝Ａ＊Ｂ＋/（Ａ＋Ｂ） …(d) ＝Ａ＊Ｂ＋/Ａ＊/Ｂ …(e) (d)式→(e)式の変形には、上記法則(v)を使っています。(e)式の第１項は、Ａ＝１かつＢ＝１の時にのみ１で、第２項はＡ＝０かつＢ＝０の時にのみ１となります。最終出力はこれらの和(OR)です。これに相当する真理値表は、同じく４であり、これが正解と分かります。 | |
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