| □ H13年12月期 A-04 Code:[HB0201] : 正弦波交流の波形グラフと実効値・平均値周波数の読取り |
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直流と違って、交流は電圧や電流が時間的に変化しますから、表現の仕方が複雑です。この問題では、電圧の表記について調べます。［１］（正弦波）交流の特性値と振幅周期的な波形（特に正弦波）についてこれを表現するためには、簡単に言うと(1) 振幅、(2) 周波数、(3) 位相の3つの要素が必要です。正弦波ではない交流については、波形そのものも重要な情報です。ここでは交流の基本である、正弦波について考えます。ここでは、最も基本的な要素である(1)の振幅についてもいろいろな表現があるので、それについて考えて行きましょう。 ［２］波形に着目した振幅の表現…最大値と平均値まずは、波形をオシロスコープ等で観測した時に、その形から分かる振幅を調べます。目で見て直感的に理解できるので、難しくないと思います。 | |
 Fig.HB0201_a 交流電圧の表現形式 |
1) 最大値 まず、最大値Ｖmについてですが、これは波形を観測して最も分かりやすいもので、波形の振幅が最も大きくなる点の電圧です。 2) 平均値 これも割と理解しやすいです。正弦波交流の半周期を波形で描くと、Fig.HB0201_aの左上のようになりますが、この「山形」と面積が同じで、時間軸の長さが同じ長方形の高さを、平均値と言います。要するに、波形の山を均して平たくしたら、高さはいくつになるかということです。 |
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最大値がＶm [V]の正弦波は、周波数をｆ [Hz]、として、ある時刻ｔ [s]の電圧を、 Ｖ(ｔ)＝Ｖmsin(2πｆｔ) …(1) と表すことができます。三角波など直線で囲まれた波形と異なり、正弦波の関数を積分しなければ得られませんが、積分の計算は数学の解説に譲り、ここでは結果だけを書きます。Ｖ(ｔ)の平均値ＶAは、 ＶA＝2Ｖm/π …(2) となります。2/π＝0.637ですから、平均値は最大値の６割強、ということになります。これは正弦波での値ですから、他の歪んだ波形では値が異なります。 ［３］電気エネルギーに着目した振幅表現…実効値ここまでは、交流波形から求められる振幅でしたが、電気をエネルギーの流れと捉えて表す振幅もあります。正弦波交流以外でも使えるので、汎用性があり、我々の周囲にはこの値で表現されたものが多いです。3) 実効値 実効値は、ある最大電圧の交流（ここでは正弦波交流）の電圧を抵抗にかけた時に消費される電力と、同じ電力を消費させる直流電圧は何Ｖか、という意味になります。例えば、家庭に来ているAC100 [V]は、実効値で表示されています。ということは、直流でも動作する500 [W]の電熱器を家庭のコンセントに接続した時と、DC100 [V]の電源につないだ時では、同じ500 [W]の電力を消費する、ということです（Fig.HB0201_a下半分）。 細かい計算は、平均値と同様に、より専門的な書に譲りますが、(1)式の「２乗平均」というものを取ります。２乗を取るのは、電力は電圧（又は電流）の２乗に比例するからです。その結果だけ記すと、実効値ＶEは、 ＶE＝Ｖm/√2 …(3) となります。1/√2＝0.707ですから、実効値は最大値の７割強、ということになります。これも平均値と同様、正弦波での値ですから、他の歪んだ波形では値が異なります。 それでは、解答に移ります。 まず、簡単な周波数から。問題の図では２周期分の時間が8 [ms]だと言っているので、１周期では4 [ms]です。周波数ｆ [Hz]は周期Ｔ [s]の逆数ですから、1/4 [ms]＝250 [Hz]となって、２か３が正解であることがわかります。 次に、実効値を考えます。問題はＶmが12 [V]だと言っているので、実効値Ｖef＝12/√2＝8.5 [V]となります。従って正解は３と分かるわけですが、一応確認のために平均値Ｖavも求めておきましょう。Ｖav＝2Ｖm/π＝7.6 [V]となりますので、やはり３が正解であることがわかります。 | |
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