| □ H13年08月期 A-03 Code:[HA0701] : トロイダルコアに巻いた２巻線の各インダクタンスと結合係数、合成インダクタンス等の計算 |
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２つのコイルが磁気的に結合して巻かれている時、合成インダクタンスを求める公式は、覚えなくてはなりません。暗記が苦手でも、オームの法則や、ＬＣの共振周波数を求める公式と同様、こればかりは仕方ありません。［１］磁気的に結合した２つのコイルのインダクタンス自己インダクタンスがＬAのコイルＡとＬBのコイルＢの合成インダクタンスＬは、次の式で与えられます。Ｌ＝ＬA＋ＬB±２Ｍ …(1) ここで、Ｍは「相互インダクタンス」といわれるものです（Ｍの係数２を忘れないように）。ちなみに、巻き方の形態はトロイダルコアに巻かれたような形状になっていても、棒状のコアに巻かれたようになっていても、(1)式は同じです。 | |
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注意したいのはその複号で、コイルＡとコイルＢに同じ向きの電流を流した時、両者が作る ・磁力線の向きが同じなら＋ ・磁力線の向きが逆なら− となります。問題の図のコイルの巻き方向が違っていたりするので、注意して図を良く見て下さい。この問題の図では、Fig.HA0701_aのように２つのコイルに同じ電流を流したとすると、トロイダルコアに沿っての磁力線の向きは逆なので、式(1)の複号は−を取ります。 ところで、この「相互インダクタンス」とやらをもう少し詳しく見てみましょう。 |
 Fig.HA0701_a 結合した２つのコイル |
［２］相互インダクタンスとは何か相互インダクタンスというのは、２つのコイルが磁気的に結合することによって生じるインダクタンスと考えていいでしょう。ではもう少し突っ込んで、「磁気的に結合することによって生じるインダクタンス」とは何でしょうか？ そもそも、コイルが「磁気的に結合する」とは、ＡとＢの２つのコイルがあるとすると、これらのコイルに電流（交流）を流すと、Ａで生じた磁力線がＢに誘導し（起電力を生じる）、また、Ｂで生じた磁力線もＡに誘導する、ということです。このため、コイルは結合がゼロでない限り、抵抗やコンデンサの直列・並列合成のように、合成インダクタンスが単純には計算できないのです。 相互インダクタンスは、複数のコイル間の結合なので、結合の度合いが強いか弱いかによって、その値が変わってきます。では、「結合が強い（結合が密）」とか「結合が弱い（結合が疎）」というのは、何によって決まるのでしょうか？ それは、一方に流れる電流によって生じた磁力線が、他方のコイルにどれだけ鎖交したか、で決まります。つまり、お互いに相手の発生させた磁力線がすべて自分と鎖交するなら結合は最も強く、全く鎖交しないなら結合は０ということになります。 そこで、この結合の強さという概念を「結合係数」という定数ｋ（０≦ｋ≦１）で表します。結合係数が１、ということは相手の発生させた磁力線がすべて自分と鎖交すること、結合係数が０、ということは、相手の磁力線が全く自分に鎖交しないことを意味します。 ここで、相互インダクタンスＭと結合係数の関係は、 Ｍ＝ｋ√（ＬA・ＬB） …(2) となります。Ｍがこのようになる理由について、数式での導出は行いませんが、次のように考えます。 コイルＡに変化する電流が流れて、自らに発生させる起電力とコイルＢに発生させる起電力の比と、その逆、及びコイルＡ・Ｂ各々の巻き数比×結合係数ｋの関係から、巻き数比を消去すると(2)が得られます。 さて、問題を解くには、各コイルの自己インダクタンスと結合係数が与えられていますから、(2)を(1)式に代入すれば、 Ｌ＝ＬA＋ＬB±２ｋ√（ＬA・ＬB） …(3) となり、合成インダクタンスが求められます。 それでは、解答に移ります。 (3)式に、ＬA＝36 [mH]，ＬB＝25 [mH]，ｋ＝0.75を代入（複号は−）すれば、 Ｌ＝36＋25−2×0.75×√(36×25)＝16 [mH] となりますから、１が正解と分かります。 | |
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ここからは余談です。 コイルの性質に、「自己インダクタンスは巻数の２乗に比例する」というのがありましたね。それなら、Ｎ回巻のコイルがＮA回巻のコイルとＮB回巻の２つのコイル（つまり、Ｎ＝ＮA＋ＮB）からなり、結合係数が１だと考えると、(3)式は正しいのでしょうか？ ＬA＝αＮA2 ，ＬB＝αＮB2 …(4) Ｌ＝α（ＮA＋ＮB）2 …(5) と表せます（αは比例定数）。ここで、(4)を(3)に代入すれば、 Ｌ＝αＮA2＋αＮB2＋２√（αＮA2×αＮB2） ＝α（ＮA2＋ＮB2＋２ＮAＮB） ＝α（ＮA＋ＮB）2 となって、これはまさに(5)式ですから、(3)式は１つのコイルを２つの部分に分けたものについても成り立つのが分かります。 逆に言うと、(3)の公式を忘れたら、自己インダクタンスと巻数の関係を思い出せばよいということになります。その際、結合係数や複号のどちらを取るかは問題文に合わせて考えなければなりません。 | |
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