| □ H12年12月期 A-09 Code:[HD0302] : 水晶発振子が安定な発振素子として用いられる周波数範囲をリアクタンスで示す |
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水晶振動子の等価回路を理解していると、割と容易に解ける問題です。曲者なのが、水晶を挟んでいる電極で、この影響を考えに入れなければなりません。これがこの問題のキーになります。［１］水晶発振子の等価回路はどうなっている？水晶発振子は、電極間に挟まれた、水晶振動子に発生する圧電効果と、外部から掛けられる振動電界が「共振」することを利用して、一定周波数のメカ的振動と電気的振動（圧電効果）を起こすものです。 | |
 Fig.HD0302_a 水晶発振子の等価回路と共振周波数 |
水晶発振子の等価回路はFig.HD0302_aのようになっています。水晶振動子は、水晶片を電極に挟んだ構造（同図右）をしています。この構造は、見方によっては水晶片を誘電体とするコンデンサで、等価回路で言うと、Ｃpがその容量を示しています。 一方、水晶片そのものは電気的等価回路で言うと直列共振回路になっています（正確な理由を私は説明できませんが、多分、共振した時に最もインピーダンスが下がるためでしょう）。 この図のように端子を引き出し、その両端のリアクタンスを観測したのが問題のグラフ、というわけです。 |
［２］水晶発振子の等価回路を解析するここで、水晶片の各定数をＬ0, Ｃ0, Ｒ0とします。水晶片は非常にＱが大きいことが知られています。つまり、ＬやＣのリアクタンスに比べると、抵抗分Ｒ0はきわめて小さい、ということになります。その条件では、水晶片単体での共振周波数ｆ0は、ｆ0＝1/{2π√(Ｌ0Ｃ0)} …(1) と表されます。 また、水晶片が持っている等価的な静電容量Ｃ0は電極間容量Ｃpよりも十分小さくなっています。上に述べたｆ0とは別に、電極間容量Ｃpも含めたこの系全体の共振周波数も存在しますが、それを考えるには、この回路図中に含まれる２つのコンデンサの合成容量を検討しなくてはなりません。この２つは共振電流に対してシリーズ（直列）に入っていますから、合成容量は直列合成したものＣsとなります。Ｃsは、 Ｃs＝Ｃ0Ｃp/(Ｃ0＋Ｃp) …(2) となります。系全体の共振周波数をｆpとすると、 ｆp＝1/{2π√(Ｌ0Ｃs)} ＝1/[2π√{Ｌ0Ｃ0Ｃp/(Ｃ0＋Ｃp)}] …(3) ｆ0とｆpの値の大きさを比べるために、(3)式を(1)式で割って、ｆpをｆ0で割ってみると、 ｆp/ｆ0＝１＋Ｃ0/Ｃp …(4) となり、この値は１よりわずかに大きくなります（∵Ｃ0≪Ｃp）。つまり、ｆpはｆ0よりもわずかに高いところにあります。 ［３］リアクタンスの周波数特性…共振周波数が２つあるそれでは次に、問題文のグラフの意味を見てゆきましょう。このグラフは水晶発振子のリアクタンスの周波数特性です。マイナス側は容量性、すなわちこの合成回路に交流を加えると電流は電圧より進み、プラス側は誘導性で電流は電圧より遅れる、という意味です。・ｆ＜ｆ0 の領域 この周波数領域では、リアクタンスは容量性です。ｆ→0でリアクタンスが−∞に発散するのは、Ｃ0とＣpがともに低周波（直流も）を阻止するからです。 ・ｆ＝ｆ0 の場合 ここが水晶片の共振点です。水晶片が直列共振しているので、リアクタンスはほぼゼロです。 ・ｆ0＜ｆ＜ｆp の領域 この領域では、リアクタンスは誘導性です。Ｃ0とＣpのリアクタンスの寄与が下がりますが、今度はＬ0のリアクタンスが大きくなってくるためです。周波数がｆpに近づくとともに、リアクタンスは＋∞に発散します。発振回路の中で水晶を使う場合は、通常この範囲の周波数（わずかにｆ0より高い周波数）で使用します。 ・ｆ＝ｆp の場合 ｆ0とともにもう一つの共振点はｆpで、ここではリアクタンスが±無限大に発散しています。電極の容量も含めた系が並列共振していて、外からは電流が入りこめない状態になっています。 ・ｆp＜ｆ の領域 ここの領域では、端子から見たリアクタンスのうち、水晶片側はＬ0の寄与でどんどん増加しますが、極板容量側はコンデンサなので、周波数が上がれば−∞→０に漸近します。トータルとして、端子から見れば並列回路なので、極板容量側の−∞→０に漸近する特性が合成された特性となります。 水晶を用いた発振器は、このｆ0付近の周波数で発振させますが、発振周波数が安定なのは、Ｃ0やＬ0といった、水晶片固有のパラメータが温度などの変動に対して安定なためです。 それでは、解答に移ります。 Ａ…水晶片のモデルは直列共振回路です Ｂ…ｆ0よりわずかに高い共振点ｆpは並列共振点です Ｃ…ｆ0とｆpの間では、水晶のリアクタンスは誘導性です Ｄ…通常、ＬＣ発振器のコイル（インダクタ）のところに水晶を用います となりますから、正解は１と分かります。 | |
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