| □ H12年12月期 A-05 Code:[HB0303] : 交流電源と抵抗とリアクタンスからなる回路網の計算 |
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容量性（コンデンサ）、誘導性（コイル）、抵抗の３つのインピーダンスが直列、並列に組み合わされた回路の合成インピーダンスの問題で、よく出題されます。インピーダンス計算の基本だからでしょう。［１］複素数計算にチャレンジしてみよう２アマまでは実数の世界で何とか解いていましたが、１アマになったら複素数（＝実数＋虚数 の形の数）計算にチャレンジしてみて下さい。というのも、こういった直列や並列の回路の合成インピーダンスを求める時、複素数でインピーダンスを計算すると、オームの法則だけで解けてしまうからです。２アマの時のようなベクトル計算や直角三角形の１辺の長さを求める公式も（全然無縁なわけではありませんが）使いません。ただ、少しだけ面倒なのは、分数で答えが出た時に分母が複素数になってしまった時、実数部と虚数部を明確に分けるため、「通分」のような「正規化」という作業が必要になることです。でも、慣れてしまえば大して難しくはありません。 この問題では回路の要素（抵抗・コンデンサ・コイル）は３つですが、上に書いたことは、要素がいくつでも使えます。２個や４個になっても、合成抵抗の計算と同じようにやって行けば良いのです。流れる電流も、遅れ位相なのか、進み位相なのか、電流の虚数部を電圧と比較すればすぐに分かります。こんな便利な複素数を使わない手はありません。 ［２］複素数を使って解いてみるでは、具体的に見て行きましょう。回路の要素が直並列、並直列に３つ繋がるパターンはFig.HB0303_aの２種類です。 | |
 Fig.HB0303_a ３つのインピーダンスの接続 |
３つとも直列、３つとも並列のパターンもありますが、これは別途問題があるので、そこで解いています。 この図で、Ｚ1〜Ｚ3はどれが抵抗・コンデンサ・コイルであるかの組合せは全く任意です。どんな組合せでも合成インピーダンスＺは各図の下にある式で表されます。合成抵抗を計算する式と全く同じです。 Ｚ1〜Ｚ3に、抵抗なら抵抗値Ｒ [Ω]を、コイルなら誘導性インピーダンスjＸLを、コンデンサなら容量性インピーダンス−jＸCを代入します。 |
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例えば、Fig.HB0301_aの左の回路で、Ｚ1＝−jＸC、Ｚ2＝jＸL、Ｚ3＝Ｒだとしましょう。この回路の左半分のインピーダンス、つまり、Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)を計算すると、 Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)＝ＸCＸL/j(ＸL−ＸC) …(1) この式で、分母にjがあるのは気持ちが悪いので、これを分子に移し（分母と分子に−jを掛ける）、 Ｚ1Ｚ2/(Ｚ1＋Ｚ2)＝jＸCＸL/(ＸC−ＸL) …(2) となります。Ｚ3＝Ｒなので、全体のインピーダンスＺ [Ω]は、 Ｚ＝Ｒ＋jＸCＸL/(ＸC−ＸL) …(3) あとはこれに問題の数値を代入し、複素数の計算をガチャガチャとやるだけです。複素数の計算練習はここではやりませんので、慣れていない方は、同様の問題をいろいろ解いてみて下さい。 それでは、解答に移ります。 問題はFig.HB0303_aの左のパターンです。問題中の以下の値を代入します。問題文は容量性と誘導性のインピーダンスに虚数単位ｊと符号が付いていませんのでご注意下さい。 Ｚ1＝20 [Ω] Ｚ2＝j20 [Ω] Ｚ3＝20 [Ω] と置きます。はじめに、第１項は、分子と分母に分けて計算します。 分子＝Ｚ1Ｚ2 ＝20×j20＝j400 …(a) 分母＝Ｚ1＋Ｚ2 ＝20＋j20＝20(1＋j) …(b) 第１項（Ｚ1とＺ2の合成インピーダンスＺ12）＝(a)/(b)だから、 Ｚ12＝400j/{20(1＋j)}＝10j(1−j)＝10(1＋j) …(c) 第２項＝Ｚ3＝20より、 Ｚ＝Ｚ12＋Ｚ3＝10(1＋j)＋20＝30＋10j [Ω] …(d) となります。Ｚが分かったので、Ｚ1及びＺ2の両端にかかる電圧Ｅ12を計算をします。 Ｅ12＝Ｅ(Ｚ12/Ｚ) ＝200×{10(1＋j)}/{10(3＋j)}＝40(2＋j) [V] …(e) Ｚ1に流れる電流Ｉ1は、 Ｉ1＝Ｅ12/Ｚ1＝40(2＋j)/20＝4＋j2 [A] …(f) となりますから、正解は４と分かります。 虚数の計算（四則演算）は２乗して-1になったり、正規化したりと、慣れないと間違いやすいですが、これは子供の九九と同じなので、練習あるのみです。それさえできれば、後はオームの法則なので、さほど難しくありません。 余談ですが、この電流は、虚数部の符号が正なので、電圧に対して進んでいることが分かります。また、電流の「絶対値」は、√(42＋22)＝2√5 [A]と求められます。 | |
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