送信アンテナ放射電力受信点電界強度増加割合デシベル計算

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A-20	送信アンテナの放射電力を10 [W]から200 [W]に増加させたとき、受信点における電界強度が増加した割合として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、log₁₀2＝0.3とする。

１　4.5 [dB]

２　13 [dB]

３　20 [dB]

４　26 [dB]

５　46 [dB]

　この問題は、一見アンテナの問題のようですが、10 [W]の入力電力を200 [W]に増幅するパワーアンプのゲインは何 [dB]でしょう？という問題と全く同じです。

［１］デシベル計算の「ミソ」　その１…対数計算

　上に書いたように、この問題はアンテナの問題ではなく（では何故私はアンテナ・給電線の分類に入れているか…は自分でも謎です）、単純なデシベル計算の問題です。送信側で増加させた電力が、そのまま受信側でも増加するわけです。
　そんなの知ってるよ、と言われることを承知で、デシベル計算に必要な対数の計算公式を復習しておきます。
　ミソ１　logｘｙ＝logｘ＋logｙ　…(1)
　ミソ２　log(ｘ/ｙ)＝logｘ－logｙ　…(2)
　ミソ３　logｘ^ｙ＝ｙlogｘ　…(3)
他にもいろいろありますが、基本的にはこの３つがあれば問題を解くのに不自由はしないと思います。
　また、記憶しておくと便利な値として、log₁₀2≒0.3やlog₁₀3≒0.477があります。もちろん、log₁₀1＝0, log₁₀10＝1です。

［２］デシベル計算の「ミソ」　その２…電圧？電力？

　公式は数学の教科書に出てくるだけですが、電気関係でデシベルを扱う時、もう一つ悩むのが、以下のことではないでしょうか？
　　電圧or電流表記のデシベル　…　20logｘ
　　電力表記のデシベル　…　10logｘ
まず、そもそもこのlogの前の係数10と20は何の違いから来ているのでしょうか？　（ちなみに、10や20をかけるのは、logの値そのままだと小数点以下の桁を扱うことが多くなり、不便だから、ということのようです。）

[dB]は比を表す
　まず、デシベル（対数）という概念が、電圧や電力の絶対値よりもそれらの「比」に着目した量であることを思い出して下さい。つまり、上のｘは何かの比率である、ということです。電界強度では1 [μV]を基準にした[dBμ]という単位が用いられますし、電力では、1 [mW]を基準とした[dBm]という単位が一般に用いられます。例えば、
　1 [μV]＝0 [dBμ]　→　1 [V]＝1000000 [μV]＝120 [dBμ]
　1 [mW]＝0 [dBm]　→　1 [W]＝1000 [mW]＝30 [dBm]
となるわけです。

電圧・電流は１次の量、電力は２次の量
　次に必要な知識は、電圧Ｅ [V]や電流Ｉ [A]は一次の量であるのに対して、電力Ｐ[W]は二次の量である、ということです。これは、あくまでこの３つの量の間での話です。ところで、一次の量、二次の量って何でしょうか？
　オームの法則で、抵抗をＲ [Ω]とすると、
　Ｐ＝Ｅ²/Ｒ　…(1)
　　＝Ｉ²Ｒ　…(2)
　　＝ＩＥ　…(3)
でした。よく見ると、ＰはＥやＩを二回掛けたものになっています。ということは、電圧（または電流）が２倍になれば電力は４倍（電力が４倍になれば電圧電流は２倍）になる、という関係があって、ＰはＥやＩよりも「次数が高い」といえます。
　従って、電圧や電流と電力を同じデシベル値で表記するには、工夫が必要で、その工夫が係数の10と20というわけです。これでもまだ抽象的です（書いている本人がそう思う）ので、具体例でやってみましょう。
　あるインピーダンス（一定値Ｚ[Ω]）を持つ回路に、起電力電圧Ｅ₁ [V]の定電圧電源を接続しました。この時、Ｚで消費される電力Ｐ₁ [W]は、
　Ｐ₁＝Ｅ₁²/Ｚ　…(4)
となります。次に、電圧がＮ倍のＥ₂（＝ＮＥ₁）[V]になったとしましょう。すると、そのときの電力の値Ｐ₂ [W]は、
　Ｐ₂＝Ｅ₂²/Ｚ　
　　＝(ＮＥ₁)²/Ｚ＝Ｎ²Ｐ₁…(5)
となります。電圧や電力の比較の基準値をそれぞれＰ₁, Ｅ₁に取ると（以下、log₁₀は単にlogと表記します）、
　電力比：log(Ｐ₂/Ｐ₁)＝logＮ²＝2logＮ　…(6)
　電圧比：log(Ｅ₂/Ｅ₁)＝logＮ　…(7)
となって、電力比の対数は電圧比の対数の２倍の値になります。このように、電圧が増加（減少）して電力が増加（減少）した、という一つの物理現象の捉え方が、対数を取っただけで２倍異なって表記されるのは、混乱の元です。なので、デシベルに表記した時に、同じ物理現象が同じ数値で表されるように、電力の対数値(6)にAを掛けるなら、電圧値(7)（電流で考えても同じです）には2Aを掛ければいいわけです。
　このような理由で、A＝10として、
　電力比 [dB]＝10log（ある電力/基準電力）
　電圧比 [dB]＝20log（ある電圧/基準電圧）　電流比も同じ
と表記するのです。

それでは、解答に移ります。
　電力比で、10 [W]から200 [W]に増加したのですから、真数で20倍です。これをデシベル値に直せば、
　10log(200/10)＝10log20＝10(log10＋log2)＝10(1＋0.3)＝13 [dB]
となりますから、正解は２と分かります。
　下線部分の式の変形では、「ミソ１」（(1)式）を使っています。
　送信側の電力の変化が、受信側の電界強度（＝電圧）の変化と、きちんと対応しているのか？という疑問もあります。実際の電波伝搬ではいろいろな要因があって、正確に対応しないでしょうが、ここではそういう議論ではなくて、自由空間中で理想的な伝搬を考えます。
　電力がＮ倍になる、ということは、電界強度は√Ｎ倍になる、ということでした。この問題ではＮ＝20なので、電界強度は√20倍になるはずです。デシベルで考えると、電力で13 [dB]の増加が電圧での13 [dB]の増加だ、といっているので、電圧が10^(13/20)倍になった、ということです。電卓でこの値と√20を比較してみて下さい。ほぼ同じになるはずです。

［１］デシベル計算の「ミソ」 その１…対数計算

［２］デシベル計算の「ミソ」 その２…電圧？電力？

［１］デシベル計算の「ミソ」　その１…対数計算

［２］デシベル計算の「ミソ」　その２…電圧？電力？